解分式方程错因分析

纪雪

摘要：

分式方程是初中数学很重要的一种方程，解分式方程是中考数学中经常考察的内容，而解分式方程比解一元一次方程多了去分母、检验的步骤，学生对其中蕴含的数学思想方法掌握不到位、算理不清晰、思维严谨性欠佳，因此在解分式方程中会出现很多经典错误，现将一些经典错误进行分析，变“错”为“宝”。

关键词：  分式方程   错因分析  转化化归  

分式方程是八年级数学中非常重要的内容，在此之前学生已经学习过解一元一次方程，并且已经熟练掌握了解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。而解分式方程比解整式方程稍显复杂。解分式方程的基本思想是：转化化归，即将分式方程转化为整式方程求解，基本步骤是：去分母、解一元一次方程、验根、写解。学生在解分式方程时由于对转化思想领悟不够、算理不清晰、思维不严谨，经常会出现以下错误。

（一）对“转化化归”思想领悟不到位

例1、解方程：

学生解法：             

       

正确解法：方程两边同乘得：

                    +=

分析：认真观察学生这一步骤，会发现本质上来看这种解法并没有错，学生将分母进行了因式分解，找到了最简公分母，一直在进行通分运算，而这样只会让式子越来越复杂，难以观察计算。没有利用等式的基本性质将分母去掉，达到化“繁”为“简”的目的。

个人认为这种现象有两方面的原因，第一方面：前面在学习分式的化简运算时，思路是将异分母通分变成同分母进行化简，而分式方程则是找到最简公分母后利用等式的基本性质将分母去掉。学生将这两种问题弄混了，因此按照之前的化简计算思路来解方程；第二方面的原因是学生不理解转化化归的数学思想；更没有意识去实现化归；而往往也是这部分孩子在数学学习上存在问题，因为他们在不断的学习新知识，新内容；而没有学会用转化的思想将“新”的变为“旧”的，将“未知”变为“已知”，孩子的思维没有得到锻炼。

（二）对算理不清楚而出错

例2、解方程：

学生步骤：方程两边同乘以（）得

                      -3

正确步骤：方程两边同乘以（）得

                  （）（） （） 

化简得：                 -3

错因分析：

去分母出现漏乘，去分母的依据是等式的基本性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的代数式，等式仍然成立。因此要将等式左右两边看成一个整体，利用等式的基本性质，两边同时乘以同一个不为0的代数式，然后利用乘法分配律进行化简，这样才不会出现漏乘，等号依然成立。而学生对这一算理不够清楚，从字面意思认为去分母就是将分母去掉，出现了漏乘。因此在化简计算的过程中，一定要引导学生明晰算理、讲出算理，才能避免这些低级错误，逐步形成思维的严谨性。

（三）思维不严谨、没有验根而出错

例3、解方程： =

学生错解：  =2

                 

正确解法：    =2

                 

检验：当时，=0

所以是原分式方程的增根，原分式方程无实数解

错因分析：

解一元一次方程和解分式方程是有区别的。分母含有未知数的方程是分式方程，分母不能等于0，因此对未知数是有范围限制的。但是解分式方程需要给方程的左右两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程再求解。这一步骤放大了未知数的取值范围，会导致求解出整式方程的根，不满足分母不等于0的条件，这样的根是整式方程的根，而不是分式方程的根，这样的根也称为分式方程的增根，需要舍去，因此在解分式方程时一定要验根。而学生在计算中经常遗漏这一环节，导致出现“会而不对、对而不全”的现象。说明学生没有意识到验根的必要性，思维严谨性欠佳，导致失分。

前面分析了解分式方程容易出现的三类错误，而在实际学习中学生经常会忽视这些错误，认为通分也能解，漏乘和没有验根是马虎了，粗心了，不能正视这些问题，更没有认真思考这些错误的根源，因此在考试中总是出现会而不对，对而不全的现象。其实不仅是解分式方程，在数学知识里，很多计算、化简错误出错的本质原因在于：没有明晰运算的对象，对于算理不清楚，代数推理的严谨性欠佳，数学思想方法不能很好领悟应用。同学们应该正视这些错误，找准自身的问题，这样才能变“错”为“宝”，长期坚持计算能力一定有所提升，也能更好地发展逻辑推理、数学运算素养了！