二次函数中线段最值问题的探究

苗光艳

摘要：本文主要针对二次函数中线段最值问题进行探究，通过实例对竖直线段、水平线段、垂直线段等单线最值问题、线段和差的最值问题两大类进行探究.

关键词：竖直线段，水平线段，垂直线段，最值问题，化斜为直.

二次函数是初中学习的重点内容，是中考考点，本文针对二次函数中的一类问题——线段最值问题进行探究，主要从单线最值、线段和差最值两个大的方面进行探究,从实例出发，探究问题、解决问题最终归纳总结一般解题的方法和策略.

一、单线最值问题：

题型一 求竖直线段的最值问题：

例1如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,求线段长度的最大值.

分析从题中可知，要求得线段长度的最大值，需要根据点坐标表示出线段的长度，运用二次函数的知识求得最大值.

解答：由题可求、

直线解析式为

设点坐标为，则点坐标为

线段

当时，有最大值为.

题型二 求水平线段的最值问题：

例2如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点,求线段长度的最大值.

分析本小题可以根据点坐标表示出线段的长度，利用二次函数知识求得最大值；也可以利用相似找到与竖直线段的关系，运用转化的方式在例1基础上求得线段的最值.

解答：

法一：由题可求、

直线解析式为

设点坐标为，

则点坐标为

线段

当时，有最大值为.

法二：过点作轴的垂线，交直线于点,

由例1可知线段

当时，有最大值为,有最大值为.

题型三 求垂直线段的最值问题：

例3如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线上方抛物线上一个动点，过点作直线的垂线，交直线于点,求线段长度的最大值？

分析本小题直接表示线段比较困难，通过转化方式找到与竖直线段之间的关系，表示线段长度，运用二次函数知识求最大值.

解答：过点作轴的垂线，交直线于点,

由例1可知线段

当时，有最大值为,有最大值为.

题型四 求其他线段的最值问题：

例4如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是线段上一个动点，将绕点逆时针转,与上方抛物线交于点，求线段长度的最大值？

分析通过转化找到与垂直线段之间的关系，进而找到与竖直线段的关系，运用二次函数知识求得线段长度的最大值.

解答：过点作直线的垂线，交直线于点,

由例3可知线段的最大值为

当时,有最大值为.

二、线段的和差倍分的最值问题：

题型一 求两条线段和的最值问题：

例5 如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,过点作轴的垂线，交轴于点，求的最大值？

分析从题中可知，要求得的最大值,需要根据点坐标表示出线段的长度求和，运用二次函数知识求得最大值.

解答：由题可求、

直线解析式为

设点坐标为，则点坐标为

线段

线段

当时，有最大值为.

题型二 求带有系数的线段和的最值问题：

例6如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,求的最大值？

分析从题中可知，要求得的最大值,这一类带有系数的问题，表示很容易，直接表示有一定困难，可以直接表示，进而求和求最值.

解答：延长线段与轴交于点

设点坐标为，则点坐标为

坐标为

由例5得线段

线段

当时，有最大值为.

题型二 求带有系数的线段差的最值问题：

例7如图，二次函数的图象交轴于两点，交轴于点，点是直线下方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点,过点作直线的平行线交直线于点求的最大值？

分析要利用相似表示，再利用二次函数知识求最值，依然用转化的方式.

解答：过作线段的垂线交于点.

设点坐标为，则点坐标为

由例5得线段

由例6得

当时，有最大值为.

   通过以上例题分析与解答，二次函数中线段最值问题实质转化为竖直线段最值问题，化斜为直，最终转化成利用二次函数知识求最值问题.

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