“一线三直角”模型在全等三角形证明中的运用

杨奎, 

【摘要】将理论知识描述的内容在几何模型上体现出来，使复杂的几何问题能够得能简单的几何模型轻松的解决，从最初的感性认知转化成具体的理性认知，充分的夯实基础知识，通过对几何模型的应用，能够让学生对初中几何有更深刻的理解，提高学生分析问题和解题能力。

【关键词】一线三直角模型；初中几何；构造几何模型

一、背景及意义

数学是所以科学的基础，也是对于初中生来说难学的学科，而初中数学的几何部分是数学最难得一部分，几何部分的学习要求学生有较强的想象能力和理解能力，问题解决能力才能掌握解决几何问题的方法和技巧。一般来说数学的定理、推论抽象难理解，一个定理看似简单，但是涉及到的综合的几何问题时则是复杂多变的，因此要让学生在短时间内解决这种问题是比较困难的，然而现有的几何教学模式和教学方法比较枯燥，对于学生的吸引力并不是很大，导致学生的学习能听，懂但是不能做题的情况较多，从而热情不高，教学达不到理想的效果。笔者发现初中阶段的数学几何教学，教师要结合学习内容的开展，积极注入模型思想，辅助学生几何学习能力的提高。抓住初中阶段学生从形象思维向抽象思维过渡的特点，在模型思想的运用中，做好学生聚合思维的基础培养，能全面提高学生几何知识的运用能力和实践创新能力。

二、模型思想在初中几何教学中的运用

1．课后习题再做，问题导入

题源范式（P56页第9题）如图1，，AC=BC,垂足分别是D,E，AD=2.5cm，DE=1.7cm,BE.

图1 图2

在学生通过做教材习题的过程中,明确证明△CEB≌△ADC,教师抛出“一线三直角”模型的定义:指的是有三个直角的顶点在同一条直线上构成的图形，如果有一组对应边相等，那么这两个三角形全等。例如在图2一中∠ACB, ∠ADC, ∠CEB,都是直角，根据同角的余角相等可以得到∠CAD=∠BCE,从而可以证明△CEB≌△ADC。教师提问,从这个题可知三个直角∠ACB, ∠ADC, ∠CEB在直线CE的异侧，那么三个直角在一条直线的同侧能不能有两个直角三角形全等呢？

2．抽象模型，揭示本质

教师通过几何画板的动态演示，已知∠ABC=90°，AB=AC,直线DE在绕B点旋转的过程中，只有两种情况，三个直角在直线的DE的同侧和三个直角在直线DE的异侧。

3．模型的应用

例1如图3，已知A(3,0),C(0,6),AC⊥BC且AC=BC.则B点的坐标.

图3图4

分析：如图4，过B点作y轴的垂线，构造出一线三直角模型的同侧型(K字型)，易得阴影部分的两个三角形全等，从而求得B的坐标。

变式练习 ：如图5，已知点B（4，0），C(0,2),AC⊥BC且AC=BC，求点A的坐标。

图5图6图7

分析：通过作辅助线可以得到一线三直角模型的异侧型（图6）或者一线三直角模型的同侧型（图7），两种添加辅助线的方法都可以得到阴影部分的两个三角形全等，从而求出A的坐标。

通过以上的例题和变式练习，让学生总结方法，老师再提炼得到“两找一构”

I.找：一找等腰直角弯（或者等腰直角三角形）；二找到经过直角顶点的一条直线（或者线段）。

II. 构：过等腰三角形的两锐角顶点作经过直角顶点直线的两条垂线段。

例1教学孩子门运用“一线三直角”全等型的基本图形解题。如何在复杂的图形中通过抽象模型，图形变换，构造“一线三直角”的基本图形来提高综合解题能力，我相信在下面的例2你能找到答案。

例2.如图8，Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AC边上一点，CD=CB，过点B作BE⊥AB且BE=AB，连接DE交BC的延长线于点F，

（1）求证：DF=EF;  

(2)如图9，延长EC交BA于点H，BM⊥EH，其中CE=6,CM=3,求△CDE的面积。

M

N

图8图9图10              图11

分析：通过方法总结的“两找一构”的方法分析问题，第（1）问的图中有两个等腰直角弯∠ABE和∠BCD,通过分析应该在∠ABE的这个等腰直角弯中构造出“一线三直角”模型，所以过E点作BC的垂线交BC的延长线于M点，易证△MEB≌△CBA,再证△MEN≌△CDN,从而解决第（1）问。第（2）问把CE作为△CDE的高，需求△CDE的面积，只需过D作DH垂直EH，这样就在∠BCD的这个等腰直角弯中构造出“一线三直角”模型，从而得出DH=CM,所以△CDE的面积就能求出来。

变式练习．如图12，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E是 CB上一点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：CE=BE.

图12

4．课堂小结

(i)本节课我们总结的几何模型是什么?

(ii)如何添加辅助线构造出“一线三直角”模型？

①.找：一找等腰直角弯（或者等腰直角三角形）；二找到经过直角顶点的一条直线（或者线段）。

②. 构：过等腰三角形的两锐角顶点作经过直角顶点直线的两条垂线段。

笔者选取小专题“一线三直角”模型在证明全等中的应用，主要目的在于对学生几何素养的培养。反思模型思想在教学中的应用策略，有以下几点与同仁们分享：（1）选题由易到难层次递进。首先让学生从课后熟悉的习题入手，通过几何画板的的动态演示得到一线三直角模型的两种情况，三直角在直线的同侧“K”型和三直线在直线的异侧“双V型”，通过例题和变式让学生熟练掌握在应用模型解决问题时，由尝试应用到思维拓展，让学生进一步巩固方法技能，拓宽思维，提升能力。（2）关注学生的学，给学生的表现及时评价，充分发挥学生的主观能动性。题目出示后，放手让学生先思考，先做出来的给予表扬，激励没有想出来的同学。（3）突出如何构造“一线三直角模型”。本节课主要渗透如何构造一线三直角模型这一种辅助线的方法。

模型思想在教学中的应用，不仅让学生学习几何的难度降低，积极性增加，更重要的是抓住初中学生的形象思维向抽象思维过渡的特点，运用模型思想在教学中的渗透，做好学生解题能力和聚合思维的培养，提高学生几何知识的运用能力，全面提高新时期初中生的数学核心素养。

【参考文献】

[1]章明.模型思想在初中几何教学中的运用及反思[J].数学大世界下旬刊，2019（26）.

[2]梁庆英.初中数学几何课堂中的模型教学[J].知识文库（J），2015（24）.

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