反比例函数图象的简单几何性质的拓展

黄祥瑜

摘要：一般情况下，在初中教学阶段，反比例函数图形性质的研究比较浅显，本文对反比例函数图象（等轴双曲线）的简单几何性质作出拓展，并给出证明。

关键词：反比例函数  等轴双曲线 几何性质

双曲线，实轴长，虚轴长，渐近线：

离心率.显然时，等轴双曲线的渐近线的倾斜角是和，渐近线夹角是，因此把等轴双曲线旋转即可变成反比例函数的图象，两者图象的性质是相通的。为方便计算，本文就研究反比例函数的图象的性质。

1.反比例函数图象的几何性质一：

实轴端点和，焦点和，离心率，函数图象有对称轴，对称中心.如图（1）所示。

证明：解方程组，可得和；实轴长等于虚轴长，即，离心率，半焦距，又，所以有，所以焦点是和.

2.反比例函数图象的几何性质二：

如图（1），等轴双曲线的半实轴长是，半焦距等于，通径等于.

证明：半实轴长，半焦距.

联立通径方程和曲线方程：

,解方程组得：

和

，

故

3.反比例函数图象的几何性质三：

如图（1），,

证明：由性质一可知，，故锐角；

由三角形内角和易得；由双曲线的通径，

4.反比例函数图象的几何性质四：

过原点的任意直线AB:与曲线有两个交点和，动点在曲线上运动（不与重合），直线与轴分别交于点和点，那么恒有等腰三角形，即.

证明：，和，

又斜率， ，

计算斜率之和

直线与倾斜角互补，，即，，证毕。

5.结束语

基于初中学生的学习背景，等轴双曲线（反比例函数的图像）是特殊的，在这特殊的背景下，也能求出性质的共性。当然，还有更多的复杂的反比例函数图象的性质和证明，希望同行共同拓展。如能理解和掌握上述内容，对今后教与学会有更大的帮助。

参考文献

[1]蒋声译．圆锥曲线的几何性质［Ｍ］．上海：上海教育出版社，2002年

[2]李世臣、李海霞．反比例函数图象的拓展性质．《数学通讯》，2014年第1、2期（上半月）

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