简 约 而 不 简 单——谈一道数列不等式题的探究之旅

陈 彬

摘要：本文以一道简约的数列不等式题为例，从一题多解中探索思维的生长点，力求一题多变，并积极寻求一题多思，追根溯源，彰显了简约题 “不简单”的研究价值。

关键词：数列不等式 一题多解 一题多变 一解多题

1 研究现状

传统的复习课教学无非是题目的堆砌加大量的模仿训练，学生只知其然不知其所以然，尽管有大量的模拟训练加持，但在实战演练时经常束手无策，难以出类拔萃。本文以一道简约的数列不等式题为例，希望在这方面有所改进。

2 研题过程

2.1 题目呈现

求证： .

这是一道简约又很普通的数列不等式题，解法也是常规的：如数学归纳法、放缩法、基本不等式、作差比较法、综合分析法、分母有理化等，一题多解不是为了炫耀解法的多样性，而是为了寻求最简洁的解法，也为能深入研究一题多变、一法多用提供依据。

2.2 方法优选

随着探究的深入，发现分母有理化具有较好的研究推广价值，证明如下：

即 ，证毕

平凡简单的解题活动中依然留存“火热”的思考过程：分母有理化为我们推进一题多变研究提供了思路.

2.3 变式训练

变式1：求证： .

变式2：求证：

变式3：求证：

变式4：求证：

变式5：求证：

变式6：求证：

变式7：求证： 对一切正整数 都成立，求整数 的最小值.

变式8：求证：

2.4 背景挖掘

当然对一个数学问题的思考，不仅体现在对解法的探究、优化、变式、推广应用上，更应该关注问题的本质，并进行及时反思和归纳整理,这让深入研究一题多思成了必要.

构造函数 并作出其图像，则不等式左边部分左边可看作是如图所示的 个小矩形的面积之和，根据N-L公式（微积分基本定理）知， ,而 = ,即得证.

2.5 拓展延伸

追根溯源，在高观点下对该数列不等式作出了几何解释，通过数形的转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，也为进一步寻找命题提供了灵感。

命题1：

命题2：1+

命题3：

命题4：

通过一题多解、一题多变、一题多思等多种方式挖掘试题的研究价值，为更好的提升备考水平增加了筹码。

3 研究总结

本文通过对该数列与不等式题的深度探究，为我们研题、命题引领了方向，以此为准引导学生把握数学本质，积极倡导“研透一题，胜做十题”的解题新模式，就是不断夯实学生的基础知识、提升其灵活应用能力，提升对基本思想的理解，具体问题具体分析的变通能力，从而提升其分析问题、解决问题的能力，这正是核心素养视角下数学解题教学的必由之路。