职高学生体验数学解题的实践与探究——高职数学复习课教学的尝试

叶建成

[摘要] 本文从教和学两个层面对“懂而不会”的现象进行分析，提出优化高职数学复习课教学方式——帮助职高学生体验数学解题，真正做到把课堂还给学生。从大道至简、大智如愚、大成若缺三方面对高职数学复习课尝试教学，并得出尝试教学的启示和反思。

[关键词] 元认知 让学 体验解题 主体参与 主观能动性 尝试教学

一、问题提出

随着浙江省高职（单考单招）扩招和高职考改革的不断深入，职高的学生通过参加高职考试升入高职院线继续学习成为社会主流。随着社会对人才要求的增高，近几年，高职的录取分数线逐年走高，我所任教的工艺美术类学生的录取分数线更是节节攀升。在这样的社会背景下，数学在高职考试中的重要性越来越明显。

高三的复习课被学生戏称为 “炒冷饭”， 每天的数学课就是做练习讲习题，索然无味。但是一到单元测试的时候，就会有学生一脸茫然地问：“老师，你上课讲的我都听懂了，为什么考试的时候大脑就一片空白？”还有学生说：“这次考到的题，你讲过后，我会了。下次考到，我还是不会。”甚至有学生说：“哎，本来可以考满分的呀！老师，你试卷一发下来，我就知道错在哪里了。”经常是“懂而不会，会而不对，对而不全”。这是目前高中数学教与学中存在的一种普遍现象，这种现象不但困惑着学生，同时也困惑着教师，影响着高三复习课的教学质量。那么存在这种现象的根本原因是什么？该如何解决此问题呢？结合教学实践，我尝试着做了一些思考与实践。

二、原因剖析

（一）教师层面剖析

教师在数学教学过程中没有充分了解学生情况，不熟悉他们的数学基础和认知能力，师生的元认知能力存在着较大距离。

1. 教师认为初中里的知识，学生应该已经掌握。

例如，在复习一元二次不等式的时候，教师在课上会整理出一张一元二次方程与不等式的表格，要求学生课后背诵，准备第二天默写。学生通过死记硬背，历经千辛万苦终于通过默写这关，却发现根本不会解题。原因在于，初中学过的一元二次方程的求解公式 已经忘记了。所以，教师应适时适度复习初中学过的一些知识点。

2. 教师认为简单的，学生应该学得容易。

例如，在复习对数的时候，教师会复习对数的运算性质，然后做题。学生的解答“ ”，“ ”。我们有的教师就会埋怨学生：“这么简单的都不会，只要代入公式就行了。”殊不知，在认识水平与接受能力上，教师与学生存在很大反差，就学生而言，接受新知识需要一个过程，所以绝不能用教师的水平衡量学生的能力。

3. 教师认为讲的请，学生应该听得懂。

例如，在复习数列的时候，我一遍又一遍的讲述已知 求 的题型，却发现学生听懂后很快忘记了，再听再懂再忘，以此反复。通过与学生的交谈，我发现学生对“ 和 的关系”一知半解，所谓的听懂也是如坠云雾、迷迷糊糊。原来，我讲的太多了，我很快就把解法教给学生，学生很快就忘记了！如果教师讲课只顾自己，不顾来自于学生一方的反馈信息，教师与学生的思维不能达到同步，学生只是被动地接受，根本没有思考理解的余地，这样的上课效果是很差的。

（二）学生层面剖析

学生解题如同我们学习开车。通过理论学习后，还要上车练习。把理论知识跟上车练习结合起来，经过反复练习，通过场地考和路考，才能拿到驾照开车上路。数学解题亦如此。

1．学生知识理解不深，概念混淆。

从知识层面上看，有的学生觉得听懂了，可是一到做题，才发现自己对知识点并没有真正理解。

【案例1】若函数 的值域为R，求 的取值范围。

许多学生认为要使 的值域为R，则必有 ，从而得出 。究其原因还是对函数值域的概念没有搞懂，误把值域为R当成定义域为R。

2．学生审题能力不高，计算能力弱。

从能力层面上看，运用知识去解决问题，有个独立思考的过程。正确审题，准确无误计算，最后才能得到正确答案。

【案例2】若代数式 的值与代数式 的值之差不小于2，求 的取值范围。

部分学生不能根据这句话正确列出代数式，有的写 ，有的写 ，还有的学生干脆空在那里。能正确理解题意,那部分学生, 并能列出算式的但是接下去的计算可谓琳琅满目，有两边同乘以6这步错的，有去小括号这步错的，有移项这步错的，还有两边同时乘以负数这步错的。

3．学生解题经验弱，个人意志不强

从个人意志层面上看，做题并不是轻而易举的事，常会遇到困难，能否用坚强的意志去克服困难，这关系到做题的成败，而“最后的成功往往来源于再坚持一下的努力之中”。

【案例3】已知函数 .求:

(1) ;(2) .

有些学生在做第一小题的时候，把 表示出来之后，就在那里发呆。问他为什么不往下写，他说“这么复杂的式子，有两个分式，通分好难”。我提示他可以先把第二个分式化简，然后考虑通分。学生很快得到了第一小题的答案

。然后，学生看着第二小题继续发呆。问他为什么不往下写，他说“要一个个代进去算，要算7次，看起来好麻烦”。我提示他先算 ， 分别是多少，然后观察一下。通过计算，学生发现 ，这时才恍然大悟：可以用第一小题的结论去完成第二小题。

三、应对尝试

德国哲学家海德格尔说：“教难于学，乃因教所要求的是让学。”要琢磨出如何去教学，就在于弄清要什么时候闭上自己的嘴，把课堂还给学生。我的让学策略是：大道至简，大智如愚，大成若缺。

1. 大道至简

我国古代伟大的哲学家和思想家、道家学派创始人老子在《道德经》里说：“万物之始，大道至简，衍化至繁”。武术高手在搏击时总是一招制敌，击中要害，绝对不会大站300回合才击倒对手；高明的医生总是一针见血，药到病除，绝对不会开乱七八糟的药物骗钱。高三的复习课往往会陷入题海战术，学生每天有做不完的练习，教师每天有改不完的作业。高明的数学教师，总是把最通俗最精简的口诀告诉学生，化繁为简，一招制敌，以一敌百。

【案例4】诱导公式的教学。

对学生来说，三角函数的诱导公式这个考点一直是个噩梦，作业基本靠书，考试基本靠懵。

起初，我教给学生的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”。“奇变偶不变”的含义： 的奇数倍，三角函数名要变； 的偶数倍，三角函数名不变。“符号看象限”的含义：角 看作第一象限角，则有 、 、 、 分别是第一、二、三、四象限角。在实际教学过程中，我发现学生搞不清楚“奇变偶不变”到底是 还是 的倍数；“符号看象限”这句话让学生花很长时间琢磨 、 、 、 究竟是第几象限角。为了巩固知识点，我进行了反复的公式默写，并且布置了大量的练习，却发现效果始终不乐观，学生解题的速度慢而且正确率低。

后来，我尝试教给学生新的口诀“纵变横不变，符号看象限”。 “纵变横不变”的含义： 轴是横轴， 轴是纵轴。“符号看象限”的含义：三角函数在各个象限内的符号。比如：公式 中，把 理解成 ，先找到角 （ 轴正方向），然后顺时针转一个锐角，得到第四象限的角。因为从横轴开始转的，所以函数名不用变。又因为第四象限的 是负的，所以 。再比如：公式 中，先找到角 （ 轴正方向），然后逆时针转一个锐角，得到第一象限的角。因为从纵轴开始转的，所以函数名要变。又因为第一象限的 是正的，所以 。教了一次新口诀后，学生很快就掌握了要领，解题速度快而且正确率高。真可谓：做题不在多，有法则灵；做题不在难，有意则行！

2. 大智如愚

我国宋代文学家苏轼在《贺欧阳少帅致仕启》里说：“大勇若怯，大智若愚。”大愚者，智之其反也。外智而内愚，实愚也；外愚而内智，大智也。有的老师满腹经纶，讲课的时候气焰熏天，一个人在讲台上滔滔不绝的讲，下面听课的学生趴到一片，昏昏欲睡。高明的数学老师看起来平易近人，讲课不紧不慢，经常把“你是怎么理解的”，“你是怎么做到的”，“还有没有其他方法”这些挂在嘴边，课堂气氛活跃，时不时闪现出智慧的火花。

【案例5】试卷分析课的教学。

期初，我会课前统计一下每道题的正确率，课上把正确率较低的题目按照知识点顺序挨个讲一遍。这样的一节课往往讲不了几个题，而且大部分学生不太有兴趣:低着头发呆、在桌子底下偷偷看手机、或者干脆趴下睡觉，只有个别学生对我有点呼应，让我感觉到这不是独角戏。等到下课，不论数学老师是否还在教室，刚刚被还在发呆的、玩手机的或者睡觉的立马大变活人，跃身到成绩好的同学那里快速把答案抄好，然后把试卷丢在课代表的桌上，最后闪人。整套动作，行云流水，一气呵成。学生的表现，让作为老师的我情何以堪啊！

后来，我调整了教学方式。先不发试卷（谁也不知道他错在哪里），而是把学生的试卷一一展示给同学看（大家可以看看某某同学错在哪里），要求同学帮忙订正。例如：考题30.已知二次函数 的图像的顶点坐标为 ，且经过点 ，求该二次函数的解析式。

首先，我用实物投影展示学生1的解法：“设 ，则 。”

同学们七嘴八舌的议论开了。有学生就指出：“老师，他的解析式设的不对，最好设成顶点式。” “那你说说看，怎么设？” “设 。老师，他把点 代进去的这一步不对，应该是 。”此时，学生1赶紧把同学说的顶点式抄在笔记本上。

接着，我用实物投影展示学生2的解法：“设 ，代入点 得 ，代入点 得 ，解得 。故，二次函数的解析式 。”

同学们乍一看，表示觉得这个解答写的很规范，过了两秒钟，才恍然大悟，齐声喊道：“解析式少了一个平方。”此时学生2惊呼：“哇，8分全部扣光啦，老师稍微给点咯？”同学们这次反映很快：“当然不行！”

然后，我用实物投影学生3的解法：“二次函数的解析式 。 。所以，解析式为 ”

同学们一看他的解答乐开了花：“哈哈，你完全平方的公式都不会啊。”我趁机提问： “那你说说看，完全平方的公式？” “ 。”还有学生笑得东倒西歪：“哈哈，你怎么抄抄都要抄错啊。”学生3满脸通红的说：“啊？原来是抄错啦。”

……

当老师和学生一起把正确率较低的题目分析完后，我让大家按照学习小组坐好。此时才把学生的试卷发下去，同时发给他一份《数学试卷分析表》。要求大家把各自做错的题目，订正到相对应的空格内。

数学试卷分析表

常见错误：1.完全不懂2审题不清3公式忘记4公式记住不会用5计算错误6格式不准确7其他
题号	错误原因分析（分析不清楚者可摘抄错误片段）	订正
1
2
……

教室里的气氛再次活跃起来，早完成《数学试卷分析表》的同学陆续开始辅导不能独立完成《数学试卷分析表》的同学……

（三）大成若缺

大成若缺，出之《道德经》之四十五章。苹果公司设计的LOGO时可能并不知道《道德经》为何物，然而，这个诡异的苹果迷倒无数果粉同时，被中国网友拍案叫绝。苹果公司在行业达到了顶峰，所向无敌，属于“大成”。大成者立足于世，不可傲立，需要自谦，故有缺陷的提示，加上“大成若缺”的文化理念，设计一个“被咬一口”的苹果，可谓匠心独运，文化深厚，异于同行。断臂的维纳斯告诉我们：完美的东西要有一点空缺，这样才有生命的张力。教学同样不应片面地追求完美无缺，要学会运用留白艺术。

人本主义心理学家罗杰斯说过:“没有人能教会任何人任何东西。”也就是说学生学会任何东西,最终都要通过自己的内化,而这个最后的过程不能也无法由教师来代替完成。教重要的在于听，学重要的在于说。如果教师能闭上嘴，耐心听学生说，你会发现学生的能量是无限的，他们的智慧是无穷的。

【案例6】排列组合应用题的教学。

例题：某诊所有10名医护人员，其中4名医生6名护士，现要选派3名成立社区便民医疗队。至少有一名护士的选法有多少种？

学生1不假思索，急着表现：“至少有1名护士，就是有1名护士或者0名护士，所以 。”

“同学们，对于‘至少有1名护士’有不同看法么？”

教室里一阵小骚动后，学生2高声喊道：“不对的，应该是1名以上护士。”

学生1恍然大悟：“哦，至少就是大于等于的意思啊。那么应该是1名护士或者2名护士或者3名护士，所以 。”

“嗯，挺好。”我一边点头一边在黑板上板书:“分为3类:1护士2医生有 种选法，2护士1医生有 种选法，3护士有 种选法。由分类计数原理，共有 种选法”。

学生3懒洋洋地看着黑板：“有没有简单一点的，抄抄太麻烦啊。”他这么一说，很多正在记笔记的学生也把手中的笔停下来。

学生4托着下巴不紧不慢的幽幽道来：“ 。”

“学霸，你给大家说说 是什么意思？”

学生4面无表情地娓娓道来：“先从10名中随便选3名，然后减去3名都是医生。”

我一边听他说一边在黑板上板书：“10个人选3个有 种选法，减去3个人都是医生的有 种选法，所以共有 种选法。”

刚刚把笔停下来的学生，开始满意地记着笔记，嘴里喃喃自语：“这样简单多啦，不愧是学霸啊”。

我正准备等学生笔记记完，就讲下一个题。教室的某一个角落，突然有个学生5举手：“老师，我还有更简单的！”

“行啊，你说说看？”

学生5：“至少有一名护士，我就先选一名护士，然后从剩下的9个人中任意选2名，所以是 。”

伴着学生的阵阵惊叹声，我由衷地对他竖起大拇指。

四、对于教学尝试的几点启示

（一）解题体验课堂模式尝试教学对单位教学时间利用率的影响

在尝试组织教学过程中，师生互动生生互动较多，课堂气氛活跃，时不时迸发出智慧的火花。但是，也会出现学生饶了很多弯仍然不能给出正确解答的现象，这需要教师始终能作为一名优秀的指导员沉着冷静地控制课堂教学的节奏。所以，我认为在课堂上看似有时间浪费，但在这过程中锻炼了学生的思维，培养了数学解题能力。

（二）解题体验课堂模式尝试教学对学生学习兴趣的影响

通过让学生给学生纠错、学生给自己纠错、学生给学生纠错激发学生的好奇心、好胜心，让学生积极参与到教学中来，成为课堂的主体。通过体验数学解题，进而体验数学思维、数学方法的魅力，在很大程度上增强学生的学习积极性和学数学的兴趣。这样的课，上课睡觉的同学少了，抬头听课的学生多了。课间能看到学生三三两两凑在一起讨论数学题，讨论不出结果的时候就组团去办公室问老师。班上的同学惊呼：“我们班这是怎么啦？以前都没人问问题的。”

（三）解题体验课堂模式尝试教学对测试成绩的影响

我所在的学校是一所职业高中，任教的班级2/3以上的学生是通过提前自主招生进校的。通过高三这一年的解题体验的尝试教学，任教班级的考试成绩从67分提高到75分，比平行班高7分。所以，从学生的成绩看，我的教学尝试是有成效的。

五、反思提升

从严格意义上来说，教师在数学上传授的并不是知识，而是信息，只是由于学生独立的建构和“学习共同体”的互动作用，这些信息才被加工为知识（认知结构）。一个没有经历过数学解题艰辛与快乐体验的人肯定不会有高超的数学解题能力。波利亚说过，认为解题纯粹是一种智力活动是错误的，决心与情绪所起的作用很重要。在解题教学法中要充分保证学生的主体地位，增强学生的主体意识，给予学生充分的思考、交流的时间，要让学生从失败中得到意志的锻炼和获得思维的启迪，要让学生从成功中获得经验和体验快乐。体验数学解题的一些尝试为高职数学复习课探求出一种新的形象。

学生说，高三的复习课是“炒冷饭”。我想，清炒白米饭的味道太差，不如来点鸡蛋、青豆、胡萝卜、香肠等等，炒一盘有滋有味的扬州炒饭。或者做成西式蟹肉炒饭、日式咖喱鸡饭、韩式泡菜炒饭……一不小心，就上了一桌琳琅满目的炒饭全席。只要我们花心思，高职数学复习课也可以精彩纷呈。

参考文献：

［1］．张劲松，深入研读课程教材，切实把握教学要求，努力提高教学质量［J］． 中学数学教学参考2007，

［2］．华志远，来自学生的错误，课程开发的宝贵资源［J］．中学数学教学参考2007，

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