基于函数性质的中职数形结合教育思想

蒋群芳

函数是探求和描述客观世界因数之间按照一定原则变化规律的数学模型，函数的思维方法是中职数学学习重要的内容，也是解决实际应用问题的重要方法。多数中职学生在初中阶段数学成绩不好，但中职学校教学的实践性和理论性相结合，更能体现函数学习中的数形结合思想。

一、理论基础：数形结合思想

客观世界存在形和数的对应关系。“数”是基于代数的数量关系，是一种隐含在客观世界的内在规律性的逻辑形式；“形”是基于几何的图形关系，是可以通过外显的直观图形展示的逻辑形式。数形结合关系的本质便是将抽象的代数关系与直观的几何图形联系起来考虑，通过数转形或形转数，既客观准确地描述存在的几何图形，又把客观规律直观形象地表现出来,数形结合思想成为时下最主要的数学学习的技巧和方法。

二、知识结合：函数四性的数形结合

职业高中部分函数知识包括一元一次函数、一元二次函数、基本的三角函数四种，系统分析函数的数形，对函数系统性分析学习尤为重要。

1.函数四性“数”的表达。

函数四性是指函数的界限性、单调性、奇偶性，周期性，函数四性是学习函数必须掌握的基础知识。函数从内涵、特征上从四个特性方面的数的理解，是学习函数的基础，从系统观出发进行归类学习。

（1）函数的界限性。函数的界限性是指函数变量的范围，内容包括函数的定义域和值域，函数定义域是函数自变量x的（取值）范围，函数的值域是因变量y的范围；f(x)是函数的符号；f它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量的取值范围就是函数的定义域。

（2）函数的单调性。函数的单调性是指函数在一定区域内因变量随自变量的增减而呈现的规律性增减关系。在一定区域内，因变量f(x)随自变量x的增或减相应地呈现增或减，是增函数，简称单调增函数；在一定区域内，因变量f(x)随自变量x的增或减相反地呈现减或增，是减函数，简称单调减函数。呈现规律性增减的区域，称为单调区域（间）。在单调区间内，任意的x2＞x1，均有F(x2)＞F(x1)，则是增函数；在单调区间内，任意的x2＞x1，均有F(x2)＜于F(x1)，则是减函数。

（3）函数的奇偶性。函数的奇偶性是指一些函数的变量（自变量）呈现出关于原点或纵轴的对称关系时，函数的值（因变量）相等，这个特性称为函数的奇偶性。函数图形关于纵轴对称的分布，F(-x)=F(x)，这种函数就是偶函数；函数图形关于原点对称的分布，F(-x)=-F(x)，这种函数就是奇函数。函数的奇偶性是函数的基本性质之一，是函数在对称区间的两个点(-x,x)上的对称，代数表达是F(-x)=F(x)或者F(-x)=-F(x)。

（4）函数的周期性。一些函数的值（因变量）随取值（自变量）呈现周期性分布，这个函数是周期函数，这中特性称为周期性，变化的范围就是周期，周期用T表示。若出现周期性变化的范围为T（为非零常数），对于定义域内的任意一个x，都有F(x)=F(x+T)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。高中数学中，三角函数是典型的周期函数。

2.函数四性“形”的特性。

函数的形，是根据函数在代数上“数”的描绘，用几何上的“形”描绘函数的“数”，就构成了函数的图像。函数图像能直观、简介地表示函数的变量和因变量的关系，学习中把数的表达转化为形的表达，体现“数形结合”学习的思想。

（1）F(x)=kx+b的四性图形。F(x)=kx+b的图形在界限性上，图形沿x轴方向左右均无限延伸，沿y轴方向上下无限延伸，所以x和F(x)是(-∞,+∞)的所有对象。当K＞0时，图形从左至右呈上升趋势，是增函数。当K＜0时，图形从左至右呈下降趋势，是减函数。只要b≠0，F(x)=kx+b的图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以为非奇非偶函数；当b=0,图像关于原点对称，是偶函数。F(x)=kx+b的图像是一条倾斜型的直线，图像没有周期分布的特点，不是周期函数。

（2）F(x)=ax2+bx+c，（a≠0）四性图形。F(x)=ax2+bx+c，（a≠0）的图形在界限上，自变量x是(-∞,+∞)的所有对象，因变量F(x)随a的正负关系不同，以（-b/2a，)点向正负两个方向对称分布，图像方向朝上时这个点是谷底点（最小值的点），图像方向朝下时是顶峰点（最大值的点）。在单调性上，F(x)=ax2+bx+c，同时存在单调增和单调减的区间，以x轴上的－b/2a分别向∞出现增减变化。在奇偶性上，仅有b=0时，恒有F(-x)=F(x)，是偶函数，图像关于Y轴对称，其余情况时非奇非偶函数。F(x)=ax2+bx+c的图像是一条U型的曲线，图像没有周期分布的特点，不是周期函数。

（3）三角函数的四性图形。

三、化繁为简——抽象思维转化为形象思维

函数部分的内容学习到考试，学习过程中都会感受到知识的复杂，需要记忆的概念很多、公式很繁、计算量大，建立在函数的概念、判断、推理之上，掌握大量的相关公式（比如三角函数部分）是学习的关键。数形结合思维，借助图像，观察和分析图形，把抽象思维转化为形象思维，达到了化繁为简的效果。