圆周运动中的轻绳、轻杆模型

陈宝军

圆周运动是一种特殊的曲线运动，在高中物理学习中处于较重要的地位，是研究各种曲线运动的基础。圆周运动与万有引力定律、带电粒子在磁场中的运动、机械能守恒和转化等知识有着密切的关系，同时圆周运动也是高考必考的三大基本运动之一，下面就圆周运动中常见的轻绳模型和轻杆模型进行分析。

轻绳（或外轨）模型

1、轻绳或外轨力学特点：在最高点只能施加向下的拉力或压力；在最低点只能施加向上的拉力或支持力。

2、最高点时的动力学方程：FT+mg=m

3、最低点时的动力学方程：FT - mg=m

4、通过最高点的临界条件FT=0，此时mg=m ，则v=

v= 时，拉力或压力为0，刚好能通过最高点。

V＞ 时，小球受向下的拉力或压力。

V＜ 时，小球不能到达最高点。

5、不能到达最高点时的脱离点：mgsinθ=m

                          V=

6、最低点分析：

     F1+mg= m       ①

F2 - mg= m       ②

m - m=2mgR  ③

   由①②③得：F2-F1=6mg  即两力的差值为6mg

例：如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为V，其T-V2图象如图乙所示，则（   ）

A 轻质绳长为             

B 当地的重力加速度为

C 当V2=c时，轻质绳的拉力大小为+a    

D 只要V2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a

解析：小球在竖直面内做圆周运动，到最高点时由绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，根据图象，应用向心力公式，牛顿第二定律分析答题，根据牛顿第二定律和机械能守恒列式求解小球在最低点和最高点时绳的拉力差。

A 在最高点时，绳对小球的拉力和重力的合力提供向心力，则得：mg+T= m

解得：T= m-mg   ①

由图象知：T=0时，V2=b，图象的斜率k=，则得：= ，得绳长为L = ，故A错误。

B 当V2=0时，T=-a，由①得：-a=-mg，得：g= ，故B正确。

C 当V2=c时，代入①得：T = c – mg= c – a ，故C错误。

D 只要V2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得：

最高点：T1+mg= m     ②

最低点：T2-mg= m      ③

从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得：m - m=2mgL     ④

联立②③④解得：T2-T1=6mg=6a，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a，故D正确。

轻杆模型（双轨）

1、轻杆（双轨）施力特点：在最高点既能施加向下的拉力（或压力），又能施加向上的支持力；在最低点施加向上的拉力或支持力。

2、在最高点的动力学方程：

V＞ 时，FN+mg=m，杆或双轨对小球有向下的拉力（或压力），其大小随V的增大而增大。

V= 时，mg=m，杆（或双轨）对小球无作用力。

V＜ 时，mg-FN=m，杆（或双轨）对小球有向上的支持力。

V=0时，mg=FN ，小球恰好能到达最高点。即，轻杆（或双轨）小球能通过最高点的临界速度为V=0。

3、最低点的动力学方程：FN-mg=m

例：如图所示，半径为R的空心圆环固定在滑块上，滑块放置在水平地面上，滑块与圆环的总质量为M，质量为m 的小球（可视为质点），可以在环内做无摩擦运动，空心圆环的内径可忽略。下列情况在最低点分别给小球不同的初速度，从而使小球能在竖直面内做圆周运动，设小球在整个运动过程中滑块始终能够保持不动。已知重力加速度为g，空气阻力不计。

（1）若小球恰好能够在竖直面内做圆周运动，小球在最低点时的速度大小。

（2）若小球在最低点的初速度大小为，求小球运动到最高点时，地面对滑块的支持力大小。

分析：解决本题的关键要明确小球做圆周运动的向心力来源，要知道圆环与轻杆相似，小球刚好到达最高点的临界速度为0，不是。

（1）小球恰好能够在竖直面内做圆周运动，在最高点的速度为0，从最低点到最高点的过程，只有重力做功，小球的机械能守恒，由机械能守恒定律求小球在最低点时的速度大小。m =2mgR，

解得：V0=2；

根据机械能守恒定律求出小球到达最高点的速度，分析小球的受力情况。根据向心力公式求出轨道对小球的作用力大小和方向，再对滑块研究，由平衡条件求地面对滑块的支持力大小。

（2）设小球在最高点的速度为V，由机械能守恒定律可得：

m（）2=2mgR+mV2，解得：V=

由于V=＞ 故小球对圆环外侧产生压力，对小球在最高点有：

FN+mg= m，解得：FN=2mg

滑块对圆环的压力和圆环对滑块的压力FN是一对作用力和反作用力，由牛顿三定律可得：=FN 对滑块有：N+=Mg

解得：N=Mg-2mg