一道线性代数习题的六种解法

朱清芳

摘要：本文针对线性代数课后一道习题，分别采用按行展开法、化为三角行列式、转化为分块矩阵的行列式、递推法和归纳法来进行解答。

关键词：按行展开；三角行列式；分块矩阵；递推法；归纳法

行列式的计算是线性代数中的基本问题，也是重要问题。由于行列式的计算技巧性较强，所以其计算也是线性代数的一个难点。

本人在处理线性代数习题的过程中，对同济大学数学科学学院编《线性代数》第七版第22页的第八大题中的第1小题，总结出了5种不同的解法，现整理如下：

例

法一：按照第一行展开，可以直接求解。

解：

按行列式第一行展开后，第一个余子式是对角行列式，可以直接求解；第二个余子式可以继续按照最后一行展开，进而求解。

法二：为爪型行列式，可以利用行列式性质将之转化为上三角行列式求取。

解：

利用行列式性质直接将左下角的元素1化为0，从而将爪型行列式化为上三角行列式。化为上三角行列式还可以采用下面的法三。

法三：仍然是转化为上三角行列式，但是转化的思路稍有不同。

解：

利用行列式的性质，在不引入分数的前提下，将左下角的元素1化为0。相比解法二，这种转化方法更温和，也更容易让同学们接受。

法四：利用分块矩阵的行列式进行计算。

解：将行列式的第行依次与第行、第行，，第2行互换，再将第列依次与第列、第行，，第2行互换，则有：

法五：按照第二行展开，得到一个递推公式，由此递推下去。

解：

将也按照第二行展开，得到的也按照第二行展开，依次下去有：

在上述行列式展开过程中，非零元素的余子式，与行列式结构相同，阶数减一。后面的计算过程，以此类推。

法六：先计算出二阶、三阶和四阶行列式的值，由此归纳出一个表达式，再用数学归纳法证明。

解：

经过猜想得：

下面用数学归纳法进行证明：

当时，，命题成立；

假设当时命题成立，即，则当时，由法五的递推公式可以得出

，

命题成立。

由上述多种解题过程可知，行列式的解法灵活多样，即便都是利用行列式按行展开，按照第一行（法一）和按照第二行（法五）展开，计算思路也是不一样的。面对行列式的计算，大多数同学却感觉无从下手，无所适从。如果要想能熟练的进行行列式计算，首先要仔细观察行列式的特点，比如上述例题它就属于“爪型”行列式；其次还要熟练掌握行列式的各种计算性质。这样我们就可以基于行列式本身的特点，灵活应用性质来进行行列式的各种计算。

参考文献：

[1]同济大学数学科学学院.线性代数(第七版)[M].高等教育出版社,2023,6.

[2]同济大学数学科学学院.线性代数附册学习辅导与习题全解(第七版)[M].高等教育出版社,2023,3.

[3]曾海福.一道行列式题的七种解法[J].科技信息,2012,33,257-258.