注重数形互助 ，聚集推理能力  ——一道中考试题的解题研究和教学启示

刘世雄

【摘要】：基于对2023年中考福建卷压轴题第25题多角度、多方位的剖析，通过发现基本图形，联想基本结构，寻找图形运动变化过程中的不变量及不变关系，形成解决几何问题的基本思路以及它对教学的启示.

    【关键词】：基本结构；直观想象；推理能力；数形结合

《义务教育数学课程标准（2022版）》将推理能力作为初中阶段数学核心素养的主要表现之一，“它主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力.理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯”. 平面几何是发展学生推理能力的重要载体，在历年中考几何综合题中，往往以三角形或四边形为研究对象，同时结合平移、旋转和轴对称等运动变化为背景，有时还兼具“隐圆”的特征，这些对学生的几何直观、空间观念和推理能力都有很高要求，下面笔者以2023年中考福建卷压轴题第25题为例，多角度、多方位的剖析，谈一谈解决几何问题的基本思路以及它对教学的启示.

一、试题呈现

题目如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）若是的中点，如图2．求证：．

二、解法探究

第（1）（2）问由几何直观容易得到论证和求解的方向，下面着重分析第（3）问，本小问虽说题干有交代“点D是AB边上不与A、B重合的一个定点”，但由于点D的任意性可知它本质上还是图形运动变化问题.众所周知，研究图形的运动变化问题的核心是：变化中的规律和变化中的不变量或不变关系.它通常有两种方式：一是基于图形的性质进行分析、推理；二是利用代数模型刻画、解释图形的运动变化，并基于代数模型的性质解决几何问题．

1.基于图形的性质进行分析、推理

几何问题的解决往往一方面是基于几何直观发现基本图形，其核心是对基本图形的分解，即从复杂图形中分解出基本图形与基本结构；另一方面基于几何图形的部分特征产生联想，直观想象重新构造出基本结构，其难点往往是添加合适的辅助线还原基本图形. 例如基于中点的联想有: 等腰三角形“三线合一”、三角形“中位线”、直角三角形“斜边中线”、特殊旋转“中心对称”等.

思路1：构造中心对称结构

方法1：如图1由（2）知∠CBF=900，又∠AOB=900得到OA∥BF，结合点N为AF的中点，基于平行叠加中点的特征联想基本结构——中心对称全等结构，由此想到延长ON交BF延长线于点G，实现了目标线段的转化ON=GN，从而只需证DN=NG；再通过基于几何直观猜想等腰直角△ODG,由此又为推理指明了方向，结合已知条件等腰直角△CDF，至此就形成了经典基本结构----共顶点的等腰直角三角形旋转有全等三角形△DOC≌△DGF，反之△DOC≌△DGF成立也可以证明等腰直角△ODG.由此问题转化为△DOC≌△DGF准备3个条件，易得OC=GF,DC=DF,由（2）易知夹角∠DCO=∠DFG，最终问题得以解决.

 

 

 

思路2：构造三角形的中位线

方法2：如图2，基于已有图形的性质，点N、O均为线段中点，为此联想中位线ON，再构造△AFG；同理可以联想中位线DN，再构造△AFH.将目标线段ND=NO转化为证明AH=FG，再通过共顶点的双等腰直角三角形△ACG和△HCF具有基本结构：“手拉手”的全等结构从而△CHA≌△CFG，最终实现证明.

方法3：如图3，基于已有图形的性质，点N、O均为线段中点，再取线段AC中点H，中点配中点特征形成3组中位线结构：中位线NG，NH，OG;斜边中线结构构CF=2DH，结合所证目标线段ND=NO，进而转化为证明△DNH≌△ONG;易知NH=NG，DH=OG，由中位线的平行关系可证明夹角∠NHD=∠NGO，最终得以解决.

思路3：构造直角三角形斜边中线

方法4：如图4，基于部分特征中点和垂直联想基本结构——斜边中线结构.可以过点D作DG⊥AB交AO延长线于点G；同思路1发现中心对称结构得到NB=NG，进而发现DN为Rt△BDG的斜边BG上的中线，ON为Rt△BOG的斜边BG上的中线，继而证明ND=NO；

思路4：构造旋转相似结构

方法5：如图5，基于几何直观容易猜想ND=NO且ND⊥NO，因而只需说明△DON是等腰直角三角形，为此可以从等腰三角形构成要素入手——边和角都具备特殊的数量关系，即说明且∠ODN=450，而边的比例关系容易联想等相似三角形，且相似比为，进而联想等腰直角三角形，由此可以联想基本结构：共顶点的两个等腰直角三角形产生的旋转相似结构，进而构造△DOC∽△DNH得以解决.

2.利用代数模型刻画、解释图形的运动变化

思路5：代数方法研究图形

方法6：如图6，代数方法研究图形最常见的方式就是解析法，通过建立平面直角坐标系将研究对象数量化，即

用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决问题。例如以点A为坐标原点，线段OC所在直线为x轴，线段OA所在直线为y轴，设A(0,t)，则B(-t,0)，C(t,O),且直线AB:y=x+t;由点D在线段AB上，由于点D位置的任意性则可设D(m,m+t).欲证ND=NO，只需表示出点N的坐标，由点N中点的特殊位置可转化为求点F的坐标，而点F的位置由点C绕点D顺时针旋转900得到的，因而一定可以用参数t和m来表示点F,基于几何直观DF=DC且DC⊥DF联想一线三直角的全等结构，进而表示F(-t,2m),所以点.有和最终ND=NO.

方法7：如图7，坐标系是参照系，在考虑对称性的前提下，应尽可能使关键点落在坐标轴上，可以利用几何图形的特殊位置关系，更加巧妙地选取原点，例如以点A为原点，腰所在直线为x、y轴，设点B(t,0)，C(0,t)，由点D位置的任意性可设D(m,0),由一线三直角的全等结构得点F(m+t,m)，产从而可以更加直接表示，更加简捷地实现证明.

方法8：如图8，用有序数对刻画各点与坐标轴的相对位置关系，若参照系发生改变，则各点数对会发生变化，但相对的数量关系是不会改变的，例如线段的长度，三角形的面积和周长等.若将点D是AB边上不与A、B重合的一个定点，则点F也是相对应的定点，则DN可看作确定三角形△ADF边AF的中线，从定量分析知确定的中线DN必定由三角形三条边AD、DF、FA所决定，过点D作DM⊥AF，设AD=a，DF=b，AF=m，由勾股定理可知同理设OA=x，OF=y，由勾股定理可知

由(2)问知,所以,

所以得证.

 

三、教学启示

1. 几何教学始于直观想象

几何解题往往遵循“发现基本图形,联想基本结构，形成一般解法”的模式，“基本图形”指日常教学中的研究对象，如等腰三角形，直角三角形，平行四边形，圆......;而基本结构往往是基本图形与基本图形图形的关系，如整体中的全等与相似，基本图形中构成要素间特殊的数量关系和位置关系等.几何直观要求能够感知各种几何图形及其组成元素，感知图形的运动和变化规律.因此，几何直观往往是我们解决几何问题的出发点.

2.几何教学行于逻辑推理

平面几何是发展学生推理能力、几何直观、空间想象、数形结合的有效载体，是落实新课标核心素养关键之处.其难点往往是辅助线的添加，其难点一是为什么添加辅助线；二是如何添加辅助线. 因此，在日常课堂教学中，教“怎么想到辅助线”比“怎么作出辅助线”更重要，要分析如何运用基本图形并联系条件猜测较复杂图形可能的结论.即教师在几何教学中要有意识地培养学生对几何图形的解构能力，引导学生从较复杂的图形中分解出基本图形或基本结构，分析其部分特征联想不同的解题思路，所以在阶段复习中要引导学生总结常规问题的基本思路，比如（3）问中中点的联想，一般可以联想“三线合一”、“中位线”、“斜边中线”、“中心对称图形”.

3.几何教学终于数形结合

图形的运动变化实质上是几何图形的位置变化，而位置变化一定蕴含着数量的变化，因此数形结合是探究有关图形运动变化问题的一种典型方法.以形助数，以数解形利用几何直观分析实际问题与数学问题，用数量描述、刻画图形的位置，建立形与数之间的联系.

总之，几何教学始于几何直观，空间想象，行于逻辑推理，终于数形结合.

【参考文献】：

[1] 中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］北京：北京师范 大学出版社，2022

[2] 章建跃 章建跃数学教育随想录 [M]杭州：浙江教育出版社，2017

[3] 郑振兴 探索解题路径 发展关键能力［J］中学数学教学参考（中旬），2021（9）：57-59.

[4] 张素元 注重研“形”求“理” ，达成解题高效［J］中国数学教育（上半月），

2023（6）：55-58.