二维正太分布最值的数学期望

杨,文,权

摘要: 在随机向量服从二维正太分布的不同情况下，用多种方法计算

，

并将主流教材的习题推广到更一般情行。

关键词: 数学期望；正态分布；最大值；最小值。

中图分类号:O211.1　　　文献标识码　Ａ

对初学者来说，概率论比较难学，概率论的一些计算更是比较难做，不仅涉及的积分和级数很难计算，而且还要用到一些特别的技巧，例如，在文[1][2][3]出现这样一个习题，设随机向量服从二维正太分布，计算。根据本人多年的教学经验，学生解答这种题目的效果非常差，很少有人独立正确解答出来。本文的目的就是探讨在随机向量服从二维正太分布的不同情况下，用多种方法计算。我们先讨论教材上的习题。

例1设随机向量服从二维正太分布，计算。

解法1 的联合概率密度函数为

（1）

（利用对称性）    

作变换 ，

（2）

                  （3）

其中式（1）难倒一部分同学，式（2）用到了分步积分法，在二重积分中应用分步积分这是很多同学想不到的，少部分同学甚至都看不懂这种做法，这一步难倒绝大多数同学，（3）用到概率密度函数的性质，即正态分布的概率密度函数在上的积分等于1。下面用特殊技巧来简化我们的计算量。

解法2   利用技巧，注意

则 ，

由于 ，于是

，则

      （4）

故  。

就本题而言，解法2计算量小，但是技巧性更强，总体而言，解法2简单一些。如果随机向量服从一般的二维正太分布，解法2简单多了，甚至可以说是最佳方法了。这个例子就是文献[1]和[2]中第三章习题29，也是文献[3]中第四章习题30。

下面用同样的两种方法计算的最小值数学期望。

例2设随机向量服从二维正太分布，计算。

解法1 与例1解法1完全类似可得  。

解法2 利用技巧，注意,则

，

由（4）知   。故  。

例3设随机向量服从二维正太分布，计算,。

解 作变换

，

则的联合概率密度函数为

，

故仍然服从二维正太分布，用同样方法可以得出：也服从二维正太分布，由例1和例2可得

，，

，，

，。

下面我们讨论服从一般二维正太分布的情形。为此先计算一个后面要用到的结论。

例4设，计算。

解

  （），，，

                                    （5）

其中是标准正态分布的分布函数。下面将例1例2推广到一般二维正态分布的情形。

例5 设随机向量服从二维正太分布，计算，。

解利用技巧，

注意

由于 ，于是 ，由（5）式得

则

。

本题如果用例1解法1来计算，将会困难重重。如果取，便得到例1例2的结果。

例6 设随机向量服从二维正太分布，计算，。

解  的联合概率密度函数为

作变换

，

则的联合概率密度函数为

故服从二维正太分布，由例1和例2可得

；

。

例7 设随机向量服从二维正太分布，计算，。

解 由例5和例6不难得到

                            （8）

                           （9）

                      （10）

                       （11）  

当时，（8）（9）就是例1例2的结论，（10）（11）就是例3的结论，同时（8）（9）（10）（11）是文献[1]中第三章习题29，（8）也是文献[2]中第三章习题29。

参考文献:

［1］中山大学邓集贤等. 概率论及数理统计( 上) ［M］． 北京: 高等教育出版社，2009.

［2］茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［M］3版．北京: 高等教育出版社，2019.

  [3] 李贤平．概率论基础［Ｍ］．3版．北京：高等教育出版社，2010．