高中数学解三角形最值与范围问题探讨

张佶迪

摘要：解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，且题型多变，多与三角形周长，面积有关，而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。本文主要探究解三角形中求取最值和范围问题的解法，本文给出三种解法，并对比几种方法优劣。

关键词：高考数学；解三角形；正弦定理；余弦定理；

解三角形是高考中的重点题型，也是高考数学的高频考点。解三角形对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。而三角形中的最值与范围问题又是一个重点。

处理这个最值问题解决方法主要有三种：

(1)利用正弦定理和三角函数有界性：已知一边及其对角，可利用正弦定理求出2R（R为外接圆半径），再通过边角互化和代入消元的方式，将多变量的表达式转化为关于角B或角C的函数，再利用降幂公式，辅助角公式等进行化简，建立目标函数后，问题将转化为三角函数求值域（最值）问题。

(2)利用基本不等式和余弦定理：根据余弦定理并配合基本不等式可求解 的最值问题。

(3)利用数形结合和极限思想：已知三角形一边及其对角可知三角形外接圆半径，在该圆上固定三角形一边，根据同弧所对的圆周角相等可知该边所对应顶点在圆上运动，根据圆的对称性和极限思想可得取值范围或最值。

下面给出例题，探讨几种方法的优劣：

题型一：已知三角形一边及其对角

例1：在 ABC中，有 ，若 ，求 ABC周长的取值范围。

解： 推出A=

法一：（利用三角函数有界性和正弦定理）

周长 +2R（sinB+sinC）(B+C= )

= +2（sinB+sin( )）

=

=

由于 ，则 ，

则周长L= 的范围 .

法二：（利用基本不等式和余弦定理）

解：由题意可得：L= +a+b

由余弦定理 ,

因为 ，所以

则 ,而三角形中两边之和大于第三边则 ,

则周长L= +a+b取值范围 .

法三：（数形结合与极限思想）

已知一边及其对角可得三角形外接圆半径为1，画出外接圆并在圆上固定A角所对边BC，根据同弧所对的圆周角相等可得三角形一顶点A在圆上运动，根据圆的对称性可得，当A点运动到优弧的中点A^’处时，此时三角形ABC周长最大，此时三角形ABC为等腰三角形。当A点无限接近于B点或C点时，此时三角形ABC周长越来越小.可根据两边之和大于第三边得三角形ABC周长取值范围。

题型分析：本题为已知一边及其对角求解三角形面积范围。共有三种解法。解法一把边的问题利用正弦定理化为角的问题，然后通过利用公式化简从而建立关于B角的目标函数，根据角的范围和三角函数有界性可得出周长取值范围。解法二利用基本不等式求范围。注意由基本不等式只能求出周长的最大值，对于周长的最小值有局限性，此时需要采用两边之和大于第三边求取值范围另一端。解法三利用数形结合的思想，找极限情况，适用于解决选择填空类型问题。通过以上例题当中的解法不难看出，解答此类问题的关键是熟练掌握三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路。

例2：在锐角 ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 若 ，求 的取值范围。

解： (过程略)

又 ABC为锐角三角形，可得 ,又根据正弦定理可得2R=2,

则

又 ，则 ，则 .

试题分析：在解决该问题过程中可发现，利用正弦定理和三角函数有界性可以顺利求解出 的取值范围，但运用基本不等式和余弦定理求解时，只能顺利求解出取值范围的一端（最值），对于另一端的求解略有局限。由上述两题可得，求解过程中边角互化相对繁琐，但确实比较常规且适用的方法。基本不等式相对具有局限性，在选取过程中要注意使用。

题型二：已知三角形一边及其邻角

例3：（2019全国卷三） ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .

（1）求B.

（2）若 ABC为锐角三角形，且c=1，求 ABC面积的取值范围。

解：(1)由 及正弦定理可得： .

， .又 ， .

,

法一：（三角函数有界性）

由

又 ，又 ABC为锐角三角形，

，

.从而

法二（极限思想）

,

若 ABC为锐角三角形，则点C位于DE之内，

, ，

题型分析：本题为已知三角形一边及其邻角求解三角形面积范围。共有两种解法。解法一利用三角形面积公式将面积范围转化为求a边的取值范围问题，再利用正弦定理化为角的问题，从而建立关于C角的目标函数，根据角的范围和三角函数有界性可得出面积取值范围。解法二利用数形结合和极限思想，在已知条件下构造锐角三角形找极限情况，从而得到

a边的取值范围，由此得到面积范围。在两种做法中，数形结合更为简单快捷，更适用于解决选择填空类型问题。法一相对繁琐，适用于解答题。

解三角形作为高考数学的高频考点，灵活性较强，对高中学生来说具有一定的难度。其中解三角形的最值与范围问题既体现了基础性又具有综合性，很好的考察了学生的数学运算和逻辑思考能力。本文通过对两种题型，三道例题的分析，总结了解三角形问题中的三种常用方法。其中法一和法二相对较为繁琐，但是逻辑缜密，适合解答题。法三的数形结合和极限思想，适用于解决选择填空题。其中法一法二解法较为常规，适合基础中等的学生，法三较难想到，适合层次较高的学生掌握。在方法的选取过程中，不能一味求简，要注意方法的适用性和局限性。

参考文献

1. 徐娜，解三角形中的一类取值范围问题[J],《高考，考试研究》,2019,7.

2. 曾伟，解三角形中的最值与范围问题[J],《高中数理化》.