浅谈高中数学的最值问题

毕月来

一、函数最值

1.定义：对于函数f(x),假定其定义域为Ａ，则（1）若存在x0，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)是函数的最大值；（2）若存在x0，使得对于任意x∈A,恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是f(x)的最小值。

2.求函数最值的常用方法有：

（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数。特别注意自变量的范围，将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。

此题涉及最大值问题，而分子为1，所以可想到使分母取正的最小值即可。设，定义域为Ｒ，所以，取倒数。

（2）判别式法：主要适用于可化为关于x的二次方程a(y)的函数y=f(x)。在由△≥0且a(y)≠0求出y的最值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x值。特别是求的值域时，常利用函数的定义域非定这一隐含条件，将函数转化为方程，利用△≥0转化为关于函数的不等式，求解时注意二次函数系数为字母时要讨论。

解得－1≤y≤5，可得出f(x)的最大为5与最小值为-1。

（3）不等式法：

利用基本不等式均值定理求最值，要特别注意“一正二定三等”即等号成立的条件。

（4）换元法：常用在三角代换、复数代换、二元代换、整体代换等，且在用换元时一定要注意新变量的取值范围。

（5）数形结合法：利用函数图像或几何意义求出函数的最值，且多反映在距离、斜率等方面。

此题充分结合了解析几何中相关问题。点(x,y)可以看成圆心在原点，半径为1的圆上的任意点。而恰可以理解为点（x,y）与点（2,0）连线的斜率。

（6）函数的单调性法：有些函数求最值要注意函数的单调性对函数最值的影响。尤其是对于闭区间上函数的最值，而在研究函数的单调性中，导数的导入与应用更是简化了许多单调性的问题，更要注意。在利用导数研究单调性时，使导函数大于零的区间就是原函数的增区间，使导函数小于零的区间就是原函数的减区间。

二、三角函数最值

求三角函数的最大值和最小值代数中的最值的方法均适用，如配方法、换元法、判别式法、重要不等式法。另外还有一些常见的三角函数及最值的求法：

函数最值在考试和工程运用上十分广泛，一定要认真把握。三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形结合的较好体现，三角函数是基本的初等函数，它描述同期现象的数学模型，在数学及其它领域中具有重要的作用。在高考命题中，单摆，弹簧振子，圆上一点的运动以及音乐，波浪、潮汐、四季变化等同期性现象，将是新的高考命题方向，所以一定要掌握好。