一题多解提高素质

郑跃全

数学教学的目的，不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的逻辑思维能力、分析问题的能力、综合运用知识的能力，即不仅要“高分”，还要“高能”，从中培养学生良好的个性品质，个人特色风采和良好的学习习惯。要实现这一目标，各级各类学校教师各出奇谋，各具特色。其中，我认为比较有效的手段，就是一题多解训练，也就是启发和引导学生，从不同的角度、不同的思路，运用不同的方法、不同的运算过程，去分析、解答同一道数学题的练习活动。很多时候，我们在谈到一个优秀数学教师时，常会论及到其有良好的教学方法，耐心细致的教学态度、善于分析、归纳的良好思维品质，并对其在教学过程中能够善于诱导学生积极开拓思维，讲解时灵活多变、一题多解、一题多问表示赞赏。

通过一题多解训练，可以提高学生的素质：

一、培养学生学习数学的兴趣

传统的数学课堂教学一般比较单调、乏味，了无生趣。成绩好的学生尚能坚持苦撑，成绩稍差的学生渐渐放弃数学。而通过一题多解训练，可以充分调动学生学习的积极性，激发学习数学的兴趣，活跃课堂气氛，给沉闷的数学课堂教学带来一股清凉的春风。智力好的同学争先恐后，智力较差的同学也积极动脑。全班同学都进入积极的思维状态，互相启发，互相带动，你追我赶，不甘落后，课堂学习气氛浓郁，从而提高课堂效率。

二、培养学生最优化解题意识

一题多解训练的目的，不是单纯地解题，单纯地追求一道题有几种解法，也不是解法越多越好，而是为了培养学生最优化解题意识。在肯定学生解法的同时，让他们比较各种方法的优劣，筛选出最优、最便捷的解题方法，从而培养学生最优化解题意识。让学生从中体会到学习的乐趣，感受到自己在学习当中的主体地位，能清楚地意识到自己在学习中的创造和自学的能力，极大地增强他们学好数学的信心。

例1已知△ABC中，求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

这是人教版七年级数学书本的一道例题，课本中给出了验证和证明。在期末复习的时候，我鼓励同学们运用多种不同的方法去证明。经归纳、整理得以下几种解法：

解法1（如图一）过点A作AD∥BC，则由“两直线平行，内错角相等”得：

∠1=∠B，∠2=∠C。

∵∠BAC+∠1+∠2=180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

解法2（如图二）延长BC，过点C作CD∥AB则由“两直线平行，同位角相等和内错角相等”得：

∠1=∠B，∠2=∠BAC，

∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

解法3（如图三）过点A作AD∥BC则由“两直线平行，同旁内角互补和内错角相等”得：

∠ABC+∠1+∠2=180°，

∠2=∠C，

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

解法4（如图四）过点A作AD∥BC，延长BA、CA则由“两直线平行，内错角相等”得：

∠6=∠2=∠B，∠5=∠3=∠C，∠4=∠1，

∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，

∴∠1+∠2+∠3=180°。

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

解法5（如图五）延长BA则由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得：

∠2=∠B+∠C，

∵∠1+∠2=180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

解法6（如图六）作DE∥AC，分别交BC、AB于点D、E。则由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”得：

∠1=∠2+∠B，

∵∠A+∠1=180°，

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°。

进一步，我要求同学们比较以上解法的优劣，并谈谈自己的见解。同学们踊跃发言、各抒己见，都说出了一定的理由。我给以充分肯定后引导他们归纳得出：解法1、解法2、解法3比较常见、易于思考，主要运用平行线的性质；而解法4、解法5、解法6运用知识点较多，尤其解法5、解法6所用的“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是在“三角形内角和定理”的基础上得出的，现在反过来用它证明三角形内角和定理，如果不是两个知识点都已学过，那是难以想象的。从而得出解法1、解法2、解法3较优。

三、培养学生良好的思维品质

适当的一题多解，可以训练学生从多角度多侧面思考问题，不依常规、不拘泥于一种思考途径，不受现在知识的局限，寻求变异，从而培养学生的“发散思维”；适当的一题多解，可以激发学生求知欲望，加深学生对所学知识的理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而提高学生的解题能力，发展学生的智力，培养学生的思维品质，使学生真正成为“高分”“高能”的有用之人。

例2一抛物线与x轴的交点是A（–2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）。

（1）求该抛物线的解析式。

（2）求该抛物线的顶点坐标。

分析：一般地，求二次函数解析式，有以下几种情况：

（1）知三点，用一般式。

（2）知顶点，或对称轴，或最值，用顶点式.

（3）知与x轴交点，用交点式。

因此，弄清题目已知，充分挖掘其内涵，恰当选取抛物线的表达式，就可轻松求解。本文着重介绍问题（1）的解决方法。

解法一：（用一般式）本题知道三点A（–2，0），B（1，0），C（2，8），

故

解法二：（用顶点式）

解法三：（用对称轴公式）

解法四：（用交点式）

∵抛物线与x轴的交点是A（–2，0），B（1，0）

∴设y=a(x+2)(x-1)

把点C(2,8)代入得：8=a(2+2)(2-1)a=2

∴y=2(x+2)(x-1)

本例中的几种解法，体现了多角度解决问题的思路，其基础是对二次函数表达式的熟练掌握和对抛物线特征的理解，通过本例练习，使学生对于求抛物线解析式有了清晰而全面地了解，从而培养了学生的发散思维，提高学生的综合解决问题的实际能力。

在实施素质教育的今天，教师应以提高学生的素质为出发点，不能为解题而解题，而应根据题目的特点，多角度多方位全盘思考，运用恰当的方法，从而锻炼学生的思维敏捷性、全面性，提高学生的综合素质。