浅谈数学和谐美

侯晓丽

数学历来被人们称作自然科学的“皇后”。其实社会科学也无法离开数学，然而人们往往在注重她的实用时，却忽略了她的“美”。数学与艺术、一个以抽象的逻辑思维而见长，一个又以形象思维为特征而相互区别，被认为是处在人类科学世界的“两极”。但它们却有共同的根基和思想脉络，那就是两者在相当大的程度上都是依赖于人的自由想象不断进行创造和发明的。这对离现实越来越远，越来越抽象的现代数学来讲，尤其如此。它们愈来愈象艺术一样，成为人类的创造物，一种任意的结构。以致许多人认为数学家和艺术家及诗人都是想象家，他们工作时，几乎什么都不要，只要一只笔和一叠纸，就能弛骋于思维王国，而不管外部世界给予他们什么。正是依靠思维的创造性，数学家形成了奇特的概念、定理和命题，创造出优美的数学形式和和谐完美的数学体系，使人叹为观止，给人以美的享受和陶冶。人们把这种比之自然美、艺术美更高层次的以数学的理论、体系结构的和谐与秩序而具有的理性美，称之为数学美。数学美有着丰富的内容和形式，数学概念的简单性、抽象性，结构系统的统一性、对称性与和谐性，数学命题与数学模型的概括性，典型性与普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。归纳起来，数学美主要表现为简洁美、和谐美、奇异美。本文仅探讨其中一个方面：和谐美。

1.数学和谐美的表现

美是和谐的。毕达哥拉斯通过对数学和科学的研究，深信“哪里有数，哪里就有美。”整个宇宙都是按照优美的数学方式设计的，都符合数的和谐。数学和谐美基本表现为其内容和形式的统一性和对称性两个方面。

统一性

数学和谐美的统一性主要表现为各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，以及数学理论系统的完整性、推理的严谨性和无矛盾性与对立面的相互转化。正如希腊数学家裴安所说：“和谐是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。”

亚里士多德认为，美在于事物本身的秩序匀称，互相协调，和谐统一，数学内容尽管丰富多彩，却处于和谐的统一体中，数学方法尽管绚丽多姿，却能互相转化，结合达到高度统一。可以毫不奈张的说，和谐统一在数学中无处不有，比比皆是。

一些本质上截然不同的概念，一些形态上完全各异的图形，却能在某些方面分别找到其一致点。例如：指数函数、三角函数本是两类完全不同的函数，但欧拉公式e=cosx+isinx却使二者紧密统一起来，特别当x=π时，可得到e+1=0.0、1、i、e、π是数学中五个最富有情感的数字。它们分别代表实的、虚的、有理的、无理的数，然而却极为和谐的统一在一个公式之中。又如解析几何中最基本的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线五类曲线分别具有不同的方程和不同的性质特征，然而它们却可以概括在一个统一的表达式中。立体几何中棱柱、棱锥、棱台和旋转体中圆柱、圆锥、圆台的体积公式也可以统一为。再如三角形、梯形、平行四边形均可视为梯形，圆、椭圆、双曲线都可统一为有心二次曲线。这些都体现了数学成员之间的和谐统一。

各类常见的解题方法也说明了几何、代数、三角间的相互转化和统一。如代数问题的三角法求解、三角问题的几何法求解、几何问题的代数法、三角法求解等等。使各种数学方法之间形成了一种不分你我、互通有无、亲密无间的和谐关系。这一切也表明各类数学思想与形式是和谐的统一、美的结合。

四则运算、分解与化简、微分与积分等等各类互逆运算，以及互补概念，互否命题都是对立统一的，也体现了数学和谐统一之美。

这样的例子举不胜举，美不胜收，让人目不暇接。它们充分反映出数学王国犹如一个十分和美的大家庭，它的各个成员“相处”得是那样的融洽，整个体系显得是那样的完整和协调，各部分内容的配合是那样的默契，恰似一个个跳动的音符，经过艺术家的巧妙组合，谱出了一曲曲优美的乐章。

对称性

从古希腊起对称性就被认为是数学美的一个基本内容。对称通常指图形或物体对于某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。在数学中，对称的概念略有拓广，常把某些具有关连或对立的概念视为对称。

“对称”最初起源于几何。对称性是最能给人以美感的一种形式，德国数学家和物理学家魏尔曾指出：“美和对称性紧密相关。”如所知，对称性是数学美的基本特征之一。

现实中许多美好的事物都具有对称性，这是不言而喻的。在数学理论中，也处处可见人们对自然界对称美的追求和反映。数学中数和形的对称，就像一个人的左右手那样对称着：实数——数轴，复数——平面，平面上的点——有序实数对，函数——图像等等。在代数学中，实系数一元n次方程虚根的成对出现，解线性方程组的克莱姆法则等，几何学中的中心对称，轮换对称和轴对称等，也都呈现着对称美。毕达哥拉斯曾说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的圆形。”这是因为球和圆在各个方向上都是对称的。

亚里士多德认为，天体的运动必然采取圆周运动的形式，否则就会降低了其“至高无上”的完美性。著名的“黄金分割”揭示出匀称美的线段比例关系。比如，正是埃及胡夫金字塔与米洛的维纳斯中的一些长度的比值符合黄金分割数，才给人以美的感受。并在以后的优选法中发挥了关键的作用。对此，达芬奇曾评价说：“黄金分割是美的原则。”不仅如此，数学中的许多对称美，往往能使门外汉也深有体会。例如人们称“行列式”为“美丽的花园，而且每一边都可以扩展”。四阶行列式是由16个元素按四行、四列排成的一个正方形，既使不懂数学的人也能深感其排列整齐和处处对称，以致给人一种美的享受。

射影几何的建立，在一定程度上也可以说是由于追求对称性而发展起来的一门学科。射影几何的创始人之一，法国数学家代沙格把直线视为一种封闭图形，每条直线都有一个无穷远点，从而在射影几何中点与直线的地位就完全对称了。这样在所有涉及平面图形的定理中，若把“点”换成“直线”、“直线”换成“点”，并把从属关系作相应的对换，那么所得到的新命题仍然是射影几何中的定理。这就是著名的对偶定理。例如，我们从“如果两个三角形之对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。”这一定理出发，利用代沙格的对偶定理，即可得到如下定理：“若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线必共点。”所以射影几何理论的发展和点与直线之间的对称性考虑密切相关。

到了今天我们发现：“对称”的概念是极其重要的。20世纪的物理学家们在研究中发现：对称的重要性在与日俱增。可以毫不夸张地说，数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。