空间角问题中几何法与向量法之比较

吴海英

摘要：本文结合典型例题，分析比较了在解决空间角问题的几何法与向量法，以便使高中数学教学更加简洁、高效。

关键词：空间角问题；几何法；向量法；比较

在高中数学教学中，立体几何主要分布在高一必修、高二选修中。学生大多反映“立体几何比代数部分难学”，立体几何是高中数学的一个难点，这是因为从初中的平面图形知识过渡到空间图形知识，本身就是难点，加之立几中的基本概念集中、抽象，要求学生形成一定的空间想象能力和演绎推理能力，这在思维能力上有一个较高的要求，再加上客观上高中数学课堂教学容量大，进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的。

因此，新课程引入了空间向量，用向量来处理立体几何问题，体现了“数”与“形”的有机结合，淡化了传统几何中从“形”到“形”的推理论证，降低了思维难度。

而向量在立体几何中的运用，只是向量在平面几何中应用的扩充与推广，但由于空间想象能力的个别差异导致了学生们在用传统方法处理立体几何问题时的巨大差异，而向量法在立体几何问题中具有简化作用，显示出向量具有处理问题的一般性。

那么几何法与向量法比较，到底用哪种方法更好一些呢？下面，笔者就从求空间夹角来谈谈自己的感受。

一、求异面直线所成角

求异面直线所成角的方法：1.平移到一个三角形中，利用解三角形解决；2.直接求两向量的夹角。

点评：比较两种解法，解法1用的是几何法，其难点是找到两平面的交线，作出二面角的平面角。解法2用的是向量法，主要是利用二面角的平面角与两平面法向量夹角间的关系解决问题。无论从计算过程还是思维过程来看，解法2都比较简单。

综上所述，利用通式，求夹角是向量法在立体几何中的典型应用。之间学习几何主要使用从一个图形的性质推出图形的另一性质，简称“形——形”的推理，这种推理方法，一般没有规律可寻，比较难学。而且与代数学的学习没有多少联系。向量的引入，可使学生提早运用方便有效的代数工具研究几何，向量几何主要采用“形——数——形”的推理，这种推理方法，有较强的规律性，因而使得学生在立体几何的学习中可能总结规律和一般方法，从而降低思维难度。

作者单位：浙江省龙游县第二高级中学

邮政编码：324400