如何为轻松学习立体几何做准备

杨莉 王传海

在数学中一直接触的是平面几何,开始学习立体几何思想意识上转变不过来,很容易用平面几何的思想知识去思考立方体几何的知识产生错误和理解上的困难。在学习立方体几何具体的知识之前不妨从整体上认识一下立方体几何,及需要注意的问题。

一、了解立体几何的内容和主要数学思想方法

1.立体几何研究的对象是空间图形(由空间的点、线、面组成的图形,也可以看成空间点的集合),立体几何研究对象是空间图形的现状大小及相互位置关系的一门数学分支。立体几何内容是空间图形的画法、形状、位置关系、大小计算及应用,是平面几何的推广与发展。

2.立体几何的主要思想方法。

(1)类比法。在立体几何学习中,我们要善于与平面几何做比较,认识其相同点,发现其不同点,这种思想方法称之为类比思想。

(2)转化法。在立方体几何中,常把空间图形的问题转化为平面图形问题去解决,这是学习立体几何的重要的数学思想方法。

(3)展开思想。将可展的空间图形展开为平面图形来处理问题的思想方法称为展开思想。

二、学习立体几何应注意的几个问题

在平时的学习中注意以下几方面：

1.重视课本,加强基本概念、定义、定理的理解和应用,加强归纳总结,将基础知识条理化、网络化,以利于记忆。对课本上的每一条定义(或概念)、定理、公理、法则等,要求学生首先要叙述出来,其次是分清它们的条件与结论，再次转换成用符号语言表述,并要能画出正确的图,定理甚至要求掌握它的证明。对课本上一些重要题目能用文字语言表述清楚,用数学符号语言表示正确,画出立体感比较明显的几何图。

2.对空间想象能力的培养,为此可以从两个方面来入手:(1)重视看图能力的培养:对于一个几何体,可要求学生从不同的角度去观察,可以是俯视、仰视、侧视、斜视,让学生体会不同的感觉,可以开拓学生的空间视野,培养空间感;当从一个角度去观察一个几何图形而解决换一个观察角度。

（2）加强画图能力的培养：要求学生掌握基本图形的画法;如异面直线的几种画法、面面位置关系的画法等;对线面的位置关系,所有的定理、公理都要画出其图形，而且要画出具有较强的立体感,除此之外,还让学生体会到用言语叙述的图形,画哪一个面在水平面上,产生的视觉完全不同,往往从一个方向上看不清的图形，从另一个方向上可能一目了然。对于诸如过多面体上的已知点作截面,或作二面角的棱等问题,主要作图依据是平面的三条性质“三平面两两相交，得到三条交线,则三条交线或者互相平行或者交于一点”。

(3)加强认图能力的培养:对立体几何题,既要由复杂的几何图形看出基本图形,如点、线、面的位置关系;又要从点、线、面的位置关系想到复杂的几何图形,既要看到所画出的图形,又要想到未画出的部分。能实现这一些,可使有些问题一眼看穿。

3.加强审题能力的培养。一般方法是:先一句一句理解，再全面考虑,要注意文字语言、符号语言、图形语言的互译。对于未给出图形的题和判断位置关系的问题,先用手头的工具比划它们的位置关系(桌面、书、笔、教室等),如果需要画图,再选择恰当的方位画图。如果有图,边读题边想象实际图形,再综合分析线面关系。

4.注重掌握解题方法中的通法通则,特别是类比、转化、展开思想。在授课时讲清讲透彻,让学生不仅理解深刻而且能牵牵掌握。如线面和面面关系的转化;三棱锥等积法要熟练掌握;面面平行转化为线面平行,可再转化为线线平行来处理。再如,点到面距离,可转化为线到面距离,又可转化为面面距离。

5.培养两种意识:

(1)特殊化意识。许多线面关系的问题要特别注意他们的特殊位置关系,在一些计算问题在一般位置(图形)和特殊位置(图形)的答案是不变的,从特殊中寻找快捷的解题思路。培养这种意识,以提高解题速度。有时,由特殊图形的关系可引出一般关系。

(2)运动的观点。平移不改变角的大小,在立体几何中，所有角的求解都可做平行线(平移)来解决,这样我们可将不相交的线的夹角转化为相交线的夹角;直线不能移动,但其 方向可按需要任意平移。