高等数学“课程思政”的创新探索——以牛顿莱布尼茨公式教学设计为例

罗维

摘要：师者，传道授业解惑也。“课程思政”建设，是高校教师对于“传道、授业、解惑”的追本溯源，通过深入分析和挖掘高等数学教学中的思政元素，培养学员正确的的世界观、人生观、价值观，实现优质的教育效果。本文以牛顿莱布尼茨公式教学设计为例体现高等数学中如何融入课程思政。

关键词：课程思政；牛顿莱布尼茨公式；教学设计

在高等数学的教学中体现课程思政的途径是多样的，例如可融入我国数学发展史培养学生的爱国情怀；用数学之美，激发学生学习的兴趣和积极性；用数学知识解决实例，让学员感受到数学来源于生活，也将应用与生活等等。下面以牛顿莱布尼茨公式的教学设计为例体现高等数学中如何融入课程思政。

首先导入环节跟同学们分享三幅图，从中考虑三个问题。第一幅图片是潜水员在潜水，潜水员在水下受到的压强如何计算？第二幅图风景优美，那么湖泊的面积如何计算？第三幅图是一个花瓶，那么花瓶的体积如何计算？这三个看似截然不同的问题，却有着相同的数学模型，那就是定积分。上节课，我们从物理与几何问题出发，引入了定积分的定义，。定积分定义的一个现实原型就是求解曲边梯形的面积。计算这样一个曲边梯形的面积，可以通过分割、近似、求和、取极限4个步骤。实际上利用定积分定义求解积分计算量大、技巧性高。以计算在区间上的定积分为例，即使我们被积函数就是一个基本初等函数，计算过程也是相当的繁琐。所以可以想象当被积函数比较复杂时，利用定义计算定积分的难度有多大，在很多情况下甚至无法进行，这限制了定积分的应用与发展。那么定积分有没有比较简单的计算方法呢？当然有，就是我们今天要学习的牛顿莱布尼茨公式。

然后开始新课讲授。著名数学家希尔伯特曾经说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用”，下面通过一个物理和一个几何问题探索计算定积分的新方法。先来看第一个引例。

设某物体作直线运动，已知速度函数和位置函数均关于时间t非负连续，求该物体在时间间隔经过的路程S.对于这个问题，一方面，根据前面学习的定积分的物理意义和中学的物理知识，可得到一个积分计算式

观察这个式子，大家有什么发现吗？速度函数在一段时间间隔上的定积分用它的位置函数表示出来了.由导数的物理意义，位置函数恰好是速度函数的一个原函数。再看局部，等式右端是两项的差，第一项与积分上限有关，第二项与积分下限有关，为了书写简洁并且更加直观，引入记号来表示增量，也就是说速度函数在一段时间间隔上的定积分可表示成它的原函数在该积分区间上的增量。这是一个巧合吗？再来看第二个例子。

求由直线与x轴所围成图形的面积A.做出图像，我们知道所围成的图形是一个直角梯形，一个特殊而简单的曲边梯形。由定积分的几何意义，它的面积可表示为显然，这个矩形的面积也可以表示为两个三角形面积之差，这样就又得到了一个积分计算式仍然采用刚刚的记号，积分等式中涉及到了两个函数，仍然满足是的一个原函数，也就是说在的定积分也表示成了它的一个原函数在该积分区间上的增量.所以这个计算定积分的方法也许并不是巧合。总结这两个引例，是不是可以认为对于对于一般的可积函数，它在某闭区间上的定积分是否可以表示为它的一个原函数在该区间上的增量呢？

牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，做这样一个猜想，设在区间上连续，为什么要有连续的条件呢？因为连续，就可以保证它是可积的，也必有原函数。再设为的原函数，则.如果这个猜想成立，定积分的计算就转化为学员熟悉的原函数的计算。接着运用已知条件和所学知识证明猜想。

需要注意的是：1.并没有要求积分上限一定要比积分下限大；2.将定积分的计算转化为原函数的计算，把两个看似不相干的概念联系了起来。这个公式称之为微积分基本公式也称之为牛顿莱布尼茨公式。早在17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨，分别从不同角度独立提出了这一思想，所以后人以他们的名字共同来命名该公式。牛顿与莱布尼茨年龄相仿，但二人身世背景却截然不同，牛顿出身于英国的农民家庭，由他的母亲独立把他抚养长大，而莱布尼茨出身与德国的贵族家庭，他的父亲是一个大学教授，这两位在完全不同的境遇下生长起来的数学家在不同国度的相同时间段发现了相同的规律。牛顿莱布尼茨公式是连接微分与积分得桥梁，我们从有了微积分后，就把握了运动的过程，微积分成为了物理学的基本语言，寻求问题解答的有力工具。

那么利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分的步骤是什么呢？其实通过观察公式会发现只需要两步，第一步是求原函数，第二步是代值做差。我们一起来看几个例子。

例1 计算      

例2 计算在上的曲边梯形的面积S.

例3 战斗机着陆时作变速直线运动，着陆时速度函数为（km/min），求飞机着陆时在时间间隔内飞机所经过的路程？

新课讲授完毕，开始小结。本节课从两个特例入手探索求解定积分的简便方法，首先得出了猜想，然后通过已经学习的知识严密的证明了猜想，得到了牛顿莱布尼茨公式，牛顿莱布尼茨公式也被称之为微积分基本公式，是连接微分与积分的桥梁。接着通过三个例子熟悉了如何应用牛顿莱布尼茨公式求解定积分，其实就分为两步，第一步，找被积函数的原函数，第二步代值做差。

牛顿莱布尼茨公式因为简化了定积分的运算，推动了定积分的应用与发展。而定积分的应用大致可分为几何与物理两方面，在几何方面有求平面图形的面积，比如开篇提到的湖泊的面积，求平面曲线的弧长，求旋转体的体积，比如开篇提到的花瓶。在物理方面，可以求变力沿曲线做功，开篇提到的水压力，还有引力。引导有兴趣的同学课下查询相关牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式资料文献。

参考文献

[1]陈晓静.牛顿-莱布尼茨公式教学的新探索[J].科技创新导报,2013(12):184-185.

[2]易强.牛顿-莱布尼茨公式教学方式研究[J]. 课程教育研究,2018(42):173-174.

[3]张双虎，欧增奇.高等数学中牛顿-莱布尼茨公式的教学探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版）,2014(12):39(12).

[4]同济大学数学系．高等数学［Ｍ］．8版．北京：高等教育出版社，2023．