数列求和之错位相减，想说爱你也容易

马建

【摘要】文章对数列类型的前项和给出了两种解决办法，详细分析了易错点，给出了具体的操作办法，还给出了裂项求和的方法.

【关键词】数学表征；数列；求和；错位相减法；裂项求和.

又到了高三的复习阶段，在近期的大小考试中，型如，其中为等差数列，为等比数列的数列，求数列的前项和的题型见得、讲得都比较多，可就是每次考下来都有超过大半的学生会做错.

下面，我们就来针对这种类型的题目易错的解题步骤进行分解.

其实，这种数列求和题型的方法比较简单，就是错位相减法.基本上学过数列的同学都会使用.原理就是等比数列的前项和公式推导过程中，用等比数列的公比乘以，再将中的项与中的项位置向后错开一位，然后作差求出，从而求得.

我们以：求数列 的前项和.这道题为例，对解题步骤进行分解如下：

注意点1：可以看作，因此，等比数列的公比，而非.

     

    

    做到这一步，大多数的同学都没有问题，但需要意一定要把位置错好，对齐.

接下来：由-可得：    

这一步容易出现的错误就是式中最后一项的正负问题，尤其是要看清楚是-还是-

接下来：     

通常情况下，错误集中在这一步：其中对中的这个等比数列进行求和.我们知道当时，等比数列的前项和公式有两个，即：（Ⅰ），（Ⅱ）.很多同学会使用公式Ⅰ，因为这个公式用起来很方便，只要知道、、 就可以了，所以就出现了下面的错误结果：，出现此错误的原因在于同学们没有理解公式中中是指这个等比数列求和的项数，而不是字母代换.所以，要有公式Ⅰ，我们必须要算清楚要求和的等比数列的项数为，从而得到：这个正确结果.

事实上，公式Ⅱ对解决这类求和问题是再合适不过的，只要知道、、即可.但也有人会做错成：.错误原因是没有理解公式中的，实际上为求和等比数列的首项和末项，搞清楚这个，求和就容易得到正确结果了.

接下来：   

   

    这一步要注意，不要把化简成，因为后面还有可以进行合并，不然，结果表示就太多项了.接下来：     

   

行百里者半于九十，千万不能化到第步就以为大功告成了，一定要把前面的除掉，才得到.结果简洁，漂亮！

做完这道题，正确与否，自己都可以进行判断，用，代入结果进行检验：

， 正确；

， 正确；完成答题.

番外篇

我们对于，其中为等差数列，为等比数列的数列，求数列的前项和，还可以用裂项法求和，还以求数列 的前项和.这道题为例.

如果通项能化成的形式，那么问题就解决了.

根据通项，我们猜想是这样的形式，那么，对比通项，可以等于，剩下的，我们只要求出和就可以了.

接下来用待定系数法：，左边=

对比系数可得：

这样计算更快，准确率也高，难点在于用待定系数法正确裂项.无疑是解决这类问题的一种好方法.但是，无论用什么方法，我们都要搞清楚计算原理，再进行求解.大家不妨多练几个类似的题目，如：对数列、分别求和.大家也可以用两种方法进行答案检验.答案：、.

怎么样，数列求和其实也不难吧，加油哦！

本文作为广东省教育科学规划2022年度中小学教师教育科研能力提升计划项目课题《基于数学表征的高中生运算素养培养实践研究》编号2022YQJK554的研究成果.

     参考文献：

     [1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者简介：马建（1981-），男，江苏省南通市人，硕士，中学一级教师，从事数学教学研究.

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