波在不同细观组分功能梯度构件中的传播

崔晓冬1) ,陈鹤丹2)

2）（上海地铁维护保障有限公司通号分公司，上海 200237）

本文对弹性波在功能梯度材料中的传播特性进行了研究，主要研究了一维纵波在功能 梯度板中的传播，对于功能梯度板的材料参数（弹性模量和质量密度）沿厚度方向按指数 函数和幂函数变化的情况，根据波传播基本理论，对纵波在功能梯度材料内的波动方程进 行了推导，得到了波动方程的位移解。当功能梯度材料梯度按指数函数分布时，弹性纵波传播特性与指数因子 α有关。

关键词：功能梯度材料；弹性波；传播特性

1绪论

功能梯度材料(Functionally Graded Materials, FGM)[1]是由两种或多种基础材料按照不同组分复合而成，材料属性和基本性能连续变化的一种新型复合材料。因此，通过控制不同材料的组成成分，使该复合材料的各项性能沿厚度方向连续变化。

例如： W.Pompe[2]等人通过构建由超高分子量聚乙烯（UHMWPE）纤维增强高密度聚乙烯与UHMWPE表面组合的分级结构，开发了用于膝关节置换的人造生物材料。闫晓磊等人 [3]研究了采用FGM的高速储能飞轮转子的力学性能，表明采用 FGM后能有效的减少应力集中，提高飞轮转子的使用寿命。黎亮等[4] 采用假设模态法描述变形，运用第二类Lagrange方程建立系统的高层次刚柔耦合动力学方程对功能梯度材料梁系统在平面内作大范围转动的动力学特性进行研究。在电磁波领域，功能梯度材料有良好的吸波性能，因此非常适合作为武器的隐身涂层，并且，美国已经应用[5]。

AChakraborty [6]从一根铁复合功能梯度材料梁入手，分析了梁内波传播模态的一些特性；X Han [7]采用二次线性单元（QLE）对功能梯度板 进行分层，然后得到二次线性单元控制方程的解析解，分析SiC-C功能梯度材料中弹性波的传播特性；WQChen [8]也采用分层传递矩阵法分析了功能梯度 材料板的一些弹性波传播的特性，采用状态空间法，计算了功能梯度材料板中波的频散曲线。SongQiao [9]将初始波动方程转换为Whittakerfunction找到了新的研究波在FGM中的传播。C.W.Lim和L.H.He[10]研究了压电梯度复 合层合板的压电效应并且讨论了材料表面有无电极两种情况，并得到了解析解。张立志等[11]对于功能梯度材料波动方程中的变系数微分方程，利用积分变量代换对其进行了简化，并讨论了当功能梯度材料参数按指数函数变化时，弹性波传播时的波幅、波速变化规律。

本文对弹性波在功能梯度材料中的传播特性进行了研究，讨论分析了不同的梯度分布对弹性波的传播的影响。

1 理论模型和基本方程

假设功能梯度材料的弹性模量、质量密度仅与坐标z有关，即： ，用u表示沿z方向的位移，垂直板表面输入一列简谐纵波， 处自由。则纵波在功能梯度材料内的波动方程应满足[1]：

(1)

初始条件为：

(2)

边界条件为：

(3)

可设式（1）位移解的一般形式为：

(4)

其中，i表示虚数符号，ω表示圆频率。表示振幅，这里的只取其虚部。

将（4）式代入（1）式中可得：

(5)

化简得：

(6)

再令：

(7)

（7）式代入（5）得：

(8)

其中，

其中： 表示纵波波速。

再令：

(9)

所以（8）式可简写为：

(10)

可以看出方程（7）为变系数二阶微分方程，其解的一般形式为：

故方程（1）的解可以表示为：

(11)

其中，A和B为常数，可以通过问题边界条件得到。 为方程（10）的两个线性无关的解，故其通解很难求得，只有在特殊情况下才能得到解析解，一般对其进行简化或用数值方法求解。

2 实例计算及分析

假设功能梯度构件的弹性模量、质量密度沿板厚度（即z正方向）按指数函数变化，即：

式中， 表示指数因子。 表示材料弹性模量和质量密度的初值。

将上式代入式（9）中得：

(12)

可以看出此时 为常数，故方程（10）变为常系数微分方程，这样就可以可以求的其解析解。对进行分类讨论，可得如下两种情况：

i当时，方程（10）的解为：

(13)

因此，（1）式的位移解为：

(14)

常数A1, B1可以通过边界条件（3）得到。

从上式可以看出，此时该解表示稳态振动即驻波，稳态振型函数为：

(15)

(16)

算例I：设一功能梯度板，其各个材料参数为 ，在 处入射一列简谐纵波 ，其中 ，α为未知数（）。初始条件，边界条件如（2）（3）所示。

图二：ξ2振型函数图像

图三：材料参数α对接收端（z=h出）波幅的影响

图四：z=h处接收到的位移归一化时域波形曲线

通过图一、图二可以看出，随着传播距离的增加，稳态振动振幅明显减弱，位置变化对振型的影响较大。通过图三、图四可以看出，随着参数α的增大（即弹性模量和密度增大），在z=h处接收到的纵波波幅明显增大

ii 当时，方程（7）的解为：

(17)

所以，（1）式的位移解可以表示为：

(18)

其中，A2，B2可由边界条件得到。

从式（17）中可以得到：

波幅函数为：

(19)

波速函数为：

(20)

算例II：设 ，在 处入射一列简谐纵波 ，其中，α为未知数（）。初始条件，边界条件如（2）（3）所示。

图五：波幅变化曲线

图六：参数α对波速的影响

图七：z=h处接收到的位移归一化时域波形曲线

通过图五可以看出，随着传播距离的增加，纵波波幅明显减弱，位置变化对振型的影响较大。通过图六可以看出，当α<6时，随着α的增大，纵波在功能梯度板中传播速度越快，所以波到达接收端（z=h处）的时间也越短。通过图七可以看出，当α<6时，随着α的增大，接收端（z=h处）的纵波波幅越来越小。

3 小结

本文对波在不同组分功能梯度材料中的传播进行了研究，当功能梯度板件中沿厚度方向梯度按指数函数时，对一维弹性纵波在其中传播的控制方程进行了求解。当功能梯度材料梯度按指数函数分布时，弹性纵波传播特性与指数因子α有关。在本文的研究算例中，当α>6时，波动方程的位移解为稳态振动，即驻波。随着传播距离 的增加或指数因子α的减小，纵波波幅逐渐减小。当0<α<6时，从波动方程位移解中可以 得出，随着传播距离的增加，纵波波幅明显减弱，位置变化对振型的影响较大；随着α的增大，接收端（z=h 处）的纵波波幅越来越小；随着 α的增大，纵波在功能梯度板中传播 速度越快，所以首波到达接收端（z=h处）的时间也越短。

参考文献

[1]  边洁，王威强，管从胜，陈蕴波，徐庆莘. 梯度功能材料研究的一些进展[J]. 金属热处理，2003，23(9):13-19

[2] Pompe.W., Worch.H., Epple.M., Freiss.W., Gelinsky.M., Greil.P., Hempel.U., Scharnweber,D., Schulte,K., Functionally graded materials for biomedical application [J]. Materials Science and Engineering A, 2003, 362: 40-60.

[3]  闫晓磊，钟志华，查云飞，莫旭辉，孙光永. 功能梯度材料飞轮转子优化设计[J]. 机械工程学报，2011，47(2)：72-79.

[4]   黎亮，章定国,   洪嘉振.   中心刚体-功能梯度材料梁系统的动力学特[J]. 机械工程学报，2013，49(13)：77-84.

[5] 李梁, 陈春雷, 冯广玉, 朱恺真. 浅谈功能梯度吸波材料在建筑中的应用[J]. 城市建设理论研究（电 子版），2013(33).

[6] Chakrabory, A., Gopalakrishnan, S., A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams [J]. International Journal of Solids and Structures, 2003, 40:2421-2448.

[7] Han, X. Liu, G R., Lam, K.Y, A Quadratic layer element for analyzing stress waves in FGMs and its application in material characterization [J]. Journal of Sound and Vibration, 2000, 236:307-321.

[8] Chen W Q, Wang H M. Bao R H. On Calculating Dispersion Curves of Waves in a Functionally Graded Elastic Plate [J]. Composite Structures, 2007, 81:233-242.

[9] Song Qiao，Xin chun Shang and Ernian Pan. Characteristics of elastic waves in FGM spherical shells, ananalytical solution [J]. Wave Motion, 2016, 62: 114-128.

[10] C.W. Lim, L.H. He. Exact solution of a compositionally graded piezoelectric layer under uniform stretch, bending and twisting [J]. International Journal of Mechanical Sciences. 2001(43): 2479–2492

[11]  张立志，朱虹.  弹性波在功能梯度材料中的传播[J].  哈尔滨商业大学报(自然科学版), 2007, 23(4):449-453.

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