待定系数法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程

刘泉岑

摘要：在自然科学、工程技术中，许多实际问题可以归结为二阶常微分方程，因此求二阶常微分方程的解有着非常重要意义。本文介绍利用待定系数法法求解二阶常系数非齐次线性常微分方程。

关键词：二阶常微分方程；待定系数法

我们要求非齐次方程的通解，关键在于求出非齐次方程的一个特解，接下来以二阶常系数非齐次线性常微分方程为例，根据自由项的形式来讨论两种不同的求解方法。

对于方程

当时，方程写成

其中为任意实数，方程(1-2)即为二阶常系数非齐次线性常微分方程。

待定系数法

1 方法介绍

当自由项具备下面两种特殊形式时，利用待定系数法求解特解较为简便。

类型一:

其中是多项式，为常数。设

其中为常数。

(1)若不是特征根

方程有特解

(2)若为特征方程的k重根

方程有特解

其中是待定常数，可通过比较系数来确定。

类型二:

其中为常数，为的次数不高于的多项式，但二者中至少有一个次数为。

(1)若不是特征根，则方程有形如

的特解，其中为次多项式。

(2)若为k重特征根，则方程有形如

的特解，其中为次多项式。

2 应用举例

(1)为多项式的情形

例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。故齐次方程的通解为，其中为任意常数，再求非齐次方程的一个特解。，对应,而不是特征根，故特解形如，其中待定，代入原方程得=，

比较系数得

解得，所以特解为

因此，原方程的通解为，其中为任意常数。

(2)为多项式与指数函数的组合的情形

例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根，故齐次方程通解为

其中为任意常数。，对应不是特征根，故特解形如

代入原方程，消去，比较系数得，因此原方程的通解为

，其中为任意常数。

(3)为三角函数与指数函数的组合的情形

例：求下列方程的通解：。

解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，。故齐次方程的通解为，其中为任意常数。，而不是特征根，故特解形如。

代入原方程，比较系数得。因此原方程的通解为

，其中为任意常数。

参考文献

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[3]韩茂安,周盛凡,刑业朋,丁玮.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2018.107-108

[4]罗兆富,王林,王刚.微分方程[M].北京:科学出版社,2018.3-5.

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[6]李必文,赵临龙,张明波.常微分方程[M].武汉:华中师范大学出版社,2014.8-12.

作者简介：刘泉岑（2000-），女，湖北咸宁人，汉族，本科，研究方向：数学与应用数学。

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