局部与整体的辩证统一分析方法在研究函数图象及性质中的应用——以《正切函数的性质与图象》为例

吴误

摘要：在认识事物的基本方法中，我们通常遵循从整体把握局部，通过局部把握整体的辩证统一思想。将上述思想方法融入课堂教学，有效指导学生对数学问题进行分析，更有利于突出数学本质，本节课利用局部与整体的分析方法对正切函数的图象及性质进行分析。

关键字：局部 整体 正切函数

一、设计思路

该节选自必修 4 第一章 1.4.3《正切函数的性质与图象》第一课时。正切函数是在学习了正余弦函数的图象与性质之后开设的课程， 正余弦函数图象与性质的学习对本节课有指导和借鉴作用,本节课对基本初等函数的研究起到完善和补充作用。

就本节课的标题而言，它把性质放在前面，所以本节课将重点带领学生完成性质到图象、图象到性质的研究，充分渗透数形结合的数学思想。

在整堂课中，我将注重引导学生进行观察、思考、推理、归纳、猜想、运算，进一步提升学生运算素养，直观想象、逻辑推理等学科素养。通过一个核心问题“正切函数的图象是什么？”利用性质从整体到局部，从局部再到整体去分析图象，并利用几何画板验证猜想的正确性，充分挖掘正切函数的性质。

二、教学目标

（1）掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、和单调性、对称性，并能简单应用（比较大小、解正切型的不等式）。

（2）再次体会如何利用函数性质去分析猜想函数图象，体验从局部到整体去分析函数图象的方法，提升自己归纳猜想、数形结合的能力。

三、教学重难点

重点：正切函数的图象及性质、数形结合的思想方法。

难点：根据性质分析猜想函数图象，渗透数形结合思想，特别是单调性的分析。

四、教学方法、手段

（1）采用类比教学法；

（2）使用核心问题“正切函数的图象是什么？”驱动教学，启发式教学，分层次教学，借助多媒体辅助教学。

（3）以自主探究、小组合作探究式学习法指导学习。

5. 教学过程

1. 创设情景，提出问题

展示英勇帅气的警察图片，并播放刑警画师通过别人模糊的描述画出画象的过程，得到一个结论：刑警画师根据别人特点画出了画象，类比这种想法，提出问题：能否通过先研究函数性质得到函数图象呢？回答问题后，再展示学习目标。

【设计意图】：通过知识的迁移，导入本节课题，同时也向学生渗透：要尊敬人民警察，他们是新时代最可爱的人。

2、温故知新，引导探究

提出2个问题：

（1）在单位圆中是如何定义任意角的正切值？

（2）在前面的学习中，都研究了正余弦函数的哪些性质？

【设计意图】：通过学生对问题1的回答，为分析正切函数的解析式做了铺垫，并且思考4将利用单位圆中的定义去分析正切函数在 上的单调性，对问题2的回答，提醒学生可以类比分析、归纳正切函数的相关性质。

3、新知构建，问题解决

（1）思考 1：正切函数的解析式是？定义域呢？

（2）思考 2：正切函数 是否为周期函数？

（3）思考 3：正切函数 是否具备奇偶性？

（4）思考 4：根据正切函数在单位圆中的定义， 单调性是怎样的？利用2点画出大致图象后，要求学生将正切函数图象补充完整，并利用几何画板验证其准确性。

（5）你能再次从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?

【设计意图】：以上几个问题环环相扣，通过对性质的逐步剖析，逐渐画出正切函数图象，最后通过对图象进行分析，补充完善正切函数的性质，充分渗透数形结合的思想，将局部与整体的哲学思想运用于数学课堂教学中。思考1从定义域角度构建图象的整体框架；思考2分析周期性，说明函数图象只需要研究一个周期的即可，并引导学生分析 内的图象，由整体到局部；思考3探究函数的奇偶性，引导学生发现只需要研究 内的图象即可，使得范围进一步缩小；思考4是本节课的难点，为突破这一难点，提醒学生可利用单位圆中的定义来解决该问题，并通过几何画板的演示，直观感受极限这一思想。通过学生动手补充完成正切函数图象，总结归纳性质，既巩固了性质，也增强了学生动手实践能力、数形结合的能力。

4. 例题分析、巩固升华

例1: 请分析函数 的定义域、周期、单调性。

例2 : 利用正切函数的单调性比较正切值的大小

例3：解不等式

完成小任务

【设计意图】：进一步巩固正切函数的性质，掌握整体代换分析正切型函数性质的方法，让学生体会转化与化归、数形结合的思想，突出重点及学习目标、首尾呼应。

5、课堂小结、布置作业

本节课都有什么收获？

【设计意图】：引导学生从知识和方法2个成面进行总结，梳理并加强本节课所学习的内容。

作业：

3、解不等式（1） （2）

【设计意图】：题目设计梯度明显，可以激发学生求知欲，突出本节课的重要思想方法，为后续学习做铺垫；并检测学生对该知识点的掌握程度。

5. 板书设计

正切函数的性质与图象 定义 图象 性质

多媒体

例题展示（学生板演）

七、教学反思

本节课我大胆对教材内容进行改编，借助分析基本初等函数的思路，从代数角度完成正切函数的性质的分析，并逐渐得到图象。但教学过程中一些问题的处理还是不够细致，没有充分考虑到学生的学情。