以“不变”应“万变”的思维方式培养研究——以《直角三角形复习》为例

王羽萌

内容摘要：教学是师生共同参与的过程。在基础教育改革的背景下，尽管我们的传统教育方式发生较大转变，但课堂仍存在传统教学过程的缩影，例如章节复习课中更容易出现学生接受知识过于被动的情况，使学生的思维受到了束缚。因此，本文从直角三角形复习入手，在利用变式题组教学的同时，坚持学生的主体地位，力求化被动复习为主动复习与自主建构，为培养学生数学逻辑思维提供一些参考价值。

关键词：直角三角形 思维变式 教学过程

1. 教学分析

（一）内容分析

初中数学内容主要包含几何和代数两部分。在几何领域中，三角形作为最基本的图形，通常会从边，角，特殊线三个要素深入题目，直角三角形作为特殊的三角形之一，其边角及特殊线之间关联性也必然是常考查重点之一。在浙教版数学教材中，直角三角形设置在八上第二章，内容主要包含直角三角形的性质，判定及直角三角形全等判定方法。

（二）学情分析

在教学阶段，通过对学生的课堂反馈，课后作业的分析，发现学生的主要问题是在判定和性质的概念理解和运用上容易混淆。因此本节课在教学方法上结合变式教学的思想，目的在于利用变式问题，引导学生自主发现和建构性质和判定的必然联系，在题目本质条件不变的情况下，灵活解决非本质问题变化所引起的系列问题，建构直角三角形知识体系，提升思维高度，拓展思维深度。

（三）目标设定

鉴于直角三角形是特殊三角形中的一个重要类型，直角三角形内容主要包含直角三角形性质，判定方法及直角三角形全等判定方法，学生对全等判定掌握较好，所以本专题复习学案主要围绕性质和判定方法两个知识点，本节课教学目标有二：一是帮助学生理清什么是直角三角形的性质，什么是其判定；二是启发学生建构直角三角形的知识体系，重温及巩固知识联系性。

2. 教学过程

（一）课堂前测

1.在△ABC中，∠C=90°，且∠C=3∠B,则∠B= ，∠A= .

2.判断以a,b,c,为边的三角形是不是直角三角形

（1）5，7，8 （2）

生：第一题∠B=30°,∠A=60°,第二题（1）不能构成直角三角形，（2）可以构成直角三角形。

师：利用所学过的哪个内容判断第二题中的条件是否可以构成直角三角形？

生A：勾股定理。

生B：勾股定理逆定理

师：勾股定理运用的前提条件是什么？

生A：前提是在直角三角形中。

师：现在我们是否知道这个三角形是直角三角形呢？

生A：不知道

师：所以在这里我们应用的是什么定理呀？

生A：勾股定理逆定理。

【设计意图】在课堂前测中设置了有关直角三角形性质和判定的简单题目检测学生已有水平，并激活旧知。

（二）问题驱动

探究1：你能尝试用不同的方法，画一个直角三角形吗？可以用多种方法。

生C

生C:借助直角三角板的90°角画一个∠B是90°，就得到直角三角形.

生D：用量角器读出30°角和60°角，他们所在的三角形就是直角三角形.

生E：我做一条线段的垂直平分线.

生F:我画一个以3,4,5为边的三角形就是直角三角形.

师：生F，你是用什么样的方法画出以3,4,5为边的三角形呢？

师：哪位同学可以帮帮他？

生M：可以利用尺规作图.

师：非常好，在黑板上几位同学所展示的三角形都是直角三角形吗？

生：是

师：怎样判断所作三角形就是一个直角三角形呢？判断依据一样吗？

生Z：图一，图二，图三一样，都是有一个角是直角。

师：好，有同学有不同想法吗？

生Y：图1和图三一样；图二和图四又有不同。

师：那么你能时候分别说一说他们的依据吗？

生Y：图一三是有一个角是直角的三角形是直角三角形！

师：那么这是根据直角三角形的什么相关内容呢?

生Y:直角三角形的定义。

师：那么图2和图4的是根据什么呢？

生L：图2是两个角互余，所以是直角三角形；图4是勾股定理逆定理

师：非常好，那么刚刚我们所得到的这些依据都是对什么进行判定？

生：直角三角形

师：所以，直角三角形的判定可以从哪几个研究因素入手呢？

生A：定义,两角互余

生M:还有勾股定理逆定理。

师：所以刚刚我们其实是对直角三角形的判定方法进行了一个回顾。

【设计意图】在解决直角三角形问题时，学生利用角互余,勾股定理来求角求边掌握熟练，但何为判定方法，何为性质，存在概念混淆等问题，因此本设计以直角三角形判定方法为切入点，设计利用不同方法构造直角三角形这一问题，侧重于明确何为直角三角形判定方法为先。此外，利用师生互动环节，促进学生思考和整合所学知识，增加了学生的课堂参与度，落实以学生为主体的理念。

（三）自主发现，自主建构

探究2：在△ABC中，∠C=90°，AC=8, BC=6, 你还能得到与三角形相关的哪些信息？

变式：在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，你能求出斜边上的中线吗？

师：以我们黑板上的一个直角三角形为例，∠C=90°，AC=8, BC=6, 你还能得到与三角形相关的哪些信息？

生A:老师可以作辅助线吗？

师：可以的，我们先来挖掘已知条件传递的信息，再借助辅助线来深入研究图形。

生M:斜边AB=10,S_△ABC=24，周长是24.

生Y：∠A加∠B等于90°算吗？

师：当然算，这也是从已知传递的信息。

生Y:△ACD和△BCD都是等腰三角形，而且面积相等

研究了边，角的关系，接下来，我们又可以从哪个要素来研究呢？

生：特殊线。

师：好，那么接下来请大家以小组的形式讨论研究你们所得到的其他的信息。

组一：①作AB的中线CD,AD=DB=5,根据斜中线定理，DE=5.

②作AB的高线CE，可以求CE长度为4.8

师：CE的长度是怎样求的？

组一：利用等积法，面积为2.4，AB为10.

师：非常好.其他组有补充吗？

组三：我们作了三个内角的角平分线，相交于一点P ,那么点P到三条边的距离相等。

师：为什么距离相等呢？

组三：角平分线上的点到角两边距离相等.

师：Perfect!刚刚我们所得到的这些信息都有一个大的前提条件，是在什么三角形中呢？

生：是直角三角形。

师：那么以上信息我们都是利用直角三角形的判定方法还是性质呢？

生：直角三角形的性质.

师：我们可以发现利用直角三角形的性质得到边边关系，角角关系，面积，周长等基本信息，还可以通过添加特殊线得到等腰三角形，角平分线性质定理的相关内容和信息，这些都是在直角三角形基本图形的基础上传递和探究得到的，今后我们也可以利用同样的研究思路来探索其他图形的信息。

师：好，那请大家快速给出变式的答案。

生Q：5或者4.

师：理由是什么?

生Q:因为没有说明哪个角是直角，两边是直角边，斜边是10，斜中线是5.如果AC是斜边，那中线是4.

师：那么在这里我们需要用到什么思想呢？

生：分类讨论的思想。

【设计意图】本设计由判定过渡到直角三角形的性质，以学生所画的一个直角三角形为例，添加一个直角，两条直角边长的条件，在引导学生去发现图形本身传递的信息的同时，激发学生借助特殊线（即通过添加辅助线）来深度挖掘三角形的相关信息，让学生在自主发现的同时，学会自主建构。变式的目的是让学生领会到虽然数学题目具有多变性，但题目考查知识不变，同时充分感受分类讨论思想在几何图形中的相关应用。

4. 学以致用

1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，CE= ,则AB的长为 .

2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，CD＝DE＝1，则AB的长为 .

变式1：△ABC中，∠ACB＝90°,∠A＝20°,以AB为斜边做一个等腰Rt△BDA,E点是AB的中点，连接CE和CD,求 ∠DCB的度数

变式2：将Rt△BDA沿直线AB折过来，点D落在点D’处，连接CD,求∠DCE.

【设计意图】为了解本堂课的教学效果，在后测中主要考察直角三角形的斜中线定理，以变式题组的形式展开，让学生去挖掘题干条件的本质和题目相关性，适应以“不变”应“万变”的思维方式，启发学生由一道题向一类题的思维转变。

（五）拓展创新

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把Rt△ABC分割为两个等腰三角形。

【设计意图】很多几何题型的原型都来自特殊三角形，因此在拓展创新中设置一道结合两个特殊三角形特点的题目，既考查直角三角形内容，又实现了知识迁移，提升了本节内容的思维高度。

本节课将直角三角形判定方法和性质的区分作为重点，课堂上给学生充分的时间。首先，在黑板展示时，学生们可以利用直角三角板，做已知线段的中垂线，勾股定理逆定理，尺规作图等方法来画直角三角形，通过在课堂上引导，学生可以从作图过程中体会直角三角形的不同判定方法，并能对不同的作图方式所依据的直角三角形的判定方法进行归类。其次，利用学生所作一个直角三角形为例，添加一角两边的条件，让学生自己去发掘三角形的信息，学生关注的角度是不同的，有些同学仅能观察到图形表面传递的信息，而个别同学考虑到做辅助线的方法。因此教学过程重在以小组合作为学习方式，让学生讨论总结并展示图形相关信息，在培养学生发散性思维的同时，巩固直角三角形的性质。

三、教学评析

优秀的教学设计应基于思维课堂理念，即以培养学生的高学习能力为核心，以发展学生的学习内驱力为指向，为学生创设有利于学习的问题情境。因此在教学过程中每个环节的问题设置上，更需要注重开放式问题，提升学生对复习课的学习兴趣，启发学生思考。在教学过程中，变式教学的设计恰好为开放式问题探究提供知识生长点，通过利用不同形式的材料或内容呈现事物的本质属性，或者通过变换非本质特征而突出本质特征，力求让学生对概念、定理、公式、判定、性质有更深层的理解和新认识。在教学过程中，变式题组练习可以作为学以致用和拓展延伸的重要载体，以一道题为基础，通过变换题干中非本质条件，使一道题变成一类题，再由一类题变成多类题，实现题型的相互转化。如在变式中加入了图形变式，即以一道题目的基础图形为雏形，利用原图形的边或角，构造图形扩展，图形折叠等变形，这对形成完整的知识结构，培养学生发散性思维和创新能力具有重要作用。

参考文献：

[1]应必顶.初中数学复习中变式训练的实践研究[J].数学教学通讯,2017（17）：48,59.

[2]刘长春,张文姊.中学数学变式教学与能力培养[M].济南:山东教育出版社,2001.