基于“问题·活动· 技术 ·评价”的教学——以“一次函数的图象与性质”教学为例

马睿

摘要：育人观念的转变和互联网技术的发展为课堂教学带来了变革，教学中如果我们能经常从“问题、活动、评价、技术”四个方面探求改进学习方式，深度融合技术，不断发展学生思维品质，就一定能培养学生深度学习能力和核心素养教学新形态。

关键词：问题、活动、技术、评价

在信息化背景下利用技术将数学教学由个体知识学习向整体知识建构，由被动接受式学习向主动探究式学习，由整齐划一的集中讲授向技术支撑的个性化学习，由低阶思维能力培养向高阶思维能力培养去转化，如何把握这诸多变量中数学教学不变的特质，笔者从问题、活动、评价和技术的角度对“互联网+示范区”观摩展示课《一函数的图像与性质》教学设计做了一次尝试与创新，取得较好效果，现整理出来，与大家共勉。

一、教学案例呈现

（一）教学内容

人教版八年级下册第十九章“19.2.2一次函数”第一节第2课时“一次函数的图象与性质”

（二）教学问题分析

一次函数的图象和性质是在学生掌握了用描点法来刻画函数图象及正比例函数的图象 （一条直线） 和性质 （增减性）的基础上开展教学的，教材通过对比两个函数的解析式及函数值，发现两个函数的图象的关系，进而利用已有的对正比例函数图象的认识来认识一般的一次函数，这看似“水到渠成”的一节课，其实还尚有很多潜在的可挖掘的教育价值。

首先，继正比例函数之后，一次函数的学习又一次经历完整的函数研究过程，要让学生体会研究问题从一般到特殊再到一般的思路，掌握类比的学习方法，建构研究函数的基本套路。

其次，函数是刻画运动变化的数学模型，函数的学习要注重运动变化过程中进行数量化的研究，要抓住变量之间存在的对应关系来突出模型的应用性。从整体观的视域看，研究函数图象和性质，不仅能继续加深学生对函数概念的理解，而且还能渗透用函数的知识去处理问题的思路。

再次，在一次函数学习中学生首次需要考虑k和b两个参数对函数的影响，精心设计探究活动可以积累研究双参数问题的活动经验，培养其分类讨论的数学思想。

基于以上思考，笔者制定了如下教学设计。

（三）教学过程分析

1.课前预学

课前教师使用宁夏教育资源云平台的“云校家”来推送学习任务单和预学资源包，学生完成任务后将作品上传平台。

（1）阅读教材“正比例函数”或观看“正比例函数”微视频，回答下列问题:

在学习正比例函数时，你学到了哪些知识，学会了哪些研究函数的方法？请说出你对函数研究过程有哪些体验？

（2）阅读教材“一次函数”，完成下列任务：

在同一平面直角坐标系中，做出函数y=2x_,y=2x-1_，y=-0.5x+1的图象，观察这些图象有什么相同点和不同点。回顾研究正比例函数的方法，思考能否类比正比例函数学习来研究一次函数。

设计意图：基于整体观设计预学问题，即梳理了研究特殊函数的思路与方法，也为更一般的一次函数和其他函数的图象性质学习提供研究框架。在正比例函数学习经验下，学生能进行描点画图，部分学生能观察并总结函数图象的一些特征，但这多是简单的模仿，缺乏完整性和严谨性，但这也正是课上进行深度学习的机缘。

2.课中伴学

（1）明晰主线——确定研究思路

调取学习平台中学生作品进行评价和内容反馈。

对

如图1

预学问题（1），结合学生的回答逐步完成知识结构框图（如图1），并作为本节课开展的主线。

设计意图：通过预学和反馈指导学生构建了学习方法。既重视了经历用描点画图的感受，也为后续进行深度探究争取了时间。

（2）初步认知——初探函数图象

学生在梳理了研究正比例函数的思路与框架后。针对对预学任务（2），引导学生对一次函数图象及性质提出了如下猜想：

猜想1：通过观察，,函数 ，_， 的图象是否都经过原点？

猜想2:函数 与函数 的图象是否互相平行？

猜想3：函数 与函数 和 的图象都有什么特点？图像变化主要有哪个量决定？

由于学生对一次函数的图象特征及性质产生了自我认知，接下来引导学生对他们产生的想法进行一一验证。

（3）加深理解——认识函数图象

以问题串的形式引导学生加深对函数图象的理解

问题1：大家清楚正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象一定是直线吗？

问题2：正方形是特殊的长方形，那长方形一定具有正方形的所有特征吗？

问题3：:你还有什么办法确认一次函数的图象是一条直线？

_{教师归纳总结：}一般的，一次函数y=kx+b的图象可以由正比例函数y=kx的图象沿着y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到。在研究函数性质过程中通过增加取点的个数最终来确认图象，正比例函数y=kx是过（0,0）的一条直线，那么一次函数y=kx+b过（0，b）的一条直线，这是一个由此及彼的过程

_。通过增加取点的个数来确认直观感知的结论正是我们研究数学问题的一种方法。并进一步引导学生使用“两点法”简便作出一次函数的图象来。

设计意图：研究“一次函数图象是否是一条直线”这一问题不仅是引导学生从图形变化的角度认识正比例函数与一次函数的关系，也是通过对特殊与一般的辩证关系去培养学生的理性思维。而“一次函数图象是一条直线”的一般性结论的证明则在课后为学生推送的资源包中进行说明，以拓展感兴趣的学生的知识面。

（4）自由探究——探索函数性质

活动1：每位学生使用“图形计算器”任做三个一次函数的图象；与小组同伴交流，观察图象特征，利用下表总结函数性质。

y=kx+b(k≠0)		K＞0	K＜0
图象
性质	经过象限
	形状趋势
	增减性

设计意图：对于双参数问题，确定其中一个，研究另一个是基本的思想。根据正比例函数的学习经验，学生会主动对 进行分类，但要研究“经过的象限”，就必须对 也进行分类讨论。这里选择不给定具体的函数而让学生任做函数图象，使分类讨论的必要性成为研究过程的需要，而非教师的“有意安排”。数学的思想方法自然而然的蕴含在探究过程中，“图形计算器”快速作图的功能使技术成为深度探究的有利工具，养成以形助数的思维习惯。

活动2：再次观察“图形计算器”中出现的两个相关联函数，思考两个函数之间存在什么关系？观察这些函数的解析式你还发现了什么？

教师引导分析解析式中k和b的数量关系的角度，引发学生新的思考：在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交，对应的解析式中k与b数量关系有相等和不等。你们能将图象的位置关系和数量关系对应起来吗？

学生通过观察对比自己与小组同伴的一次函数图象，将一次函数图象的位置特征与其数量关系对应起来。

	函数图象位置关系	和 的数量关系
一次函数 与一次函数	平行
	重合
	相交

教师总结：我们发现，研究两个函数的关系依然是通过观察两个函数图象的特征，即位置关系，去分析解析式中 和 的数量关系,k决定了倾斜的方向，b决定了与y轴的交点。

设计意图：厘清研究思路，理出探究活动步骤，使得研究活动按序进行；设计表格，降低探究的难度，强化图形语言和符号语言的相互转化；使用作图工具，让学生真正参与了探究的过程，在思考、讨论、合作、操作、验证等学习活动中实现自主学习，经历深度认知。

二、案例反思

1.层次性思维的问题引领

希尔伯特认为：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”，由此说明问题提出在数学研究中的重要性，可以说，没有数学问题的提出就没有问题解决，也就没有了数学的发展。教学中浅层次思维的问题是对知识的记忆、描述、理解和简单运用的正向的、再现性的问题，而高层次思维的问题是对知识的分析、综合、评价、批判的多向的、创造性问题。在本节课中笔者以“问题串”形式设计出层次性问题让学生积极参与对话，从而引发学生深度进行思考。通过“正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象一定是直线吗？”，“正方形是特殊的长方形，那长方形一定具有正方形的所有特征吗？”，“你还有什么办法确认一次函数的图象是一条直线？”等“若和类”和“如何类”问题，引导学生去分析问题、建构知识，培养逻辑思维，增强科学精神，这既是高阶思维品质的发展，也是培养数学核心素养的落脚点。

2.探究活动的素养发展

学生利用“图形计算器”动手画图、观察图像、实验操作、归纳验证等活动中思维进一步深化，自主学习意识明显增强。活动1让学生使用“图形计算器”任做三个一次函数的图象，学生通过观察三个函数经过的象限、图像形状趋势的观察，根据正比例函数的学习经验，很快得出需对k＞0与k＜0两种情况进行分类讨论研究，并且能够得出当k＞0与k＜0时一次函数的变化趋势，但是在研究一次函数图象经过的象限时，就需要对b也进行分类讨论，于是学生自然而然地产生了思考。活动2再次引导学生利用“图形计算器”中出现的两个相关联函数进行观察、发现、验证，学生很快看出当两条直线相互平行时，对应的解析式中k相同，但b不相同，并且利用“图形计算器”在同一直角坐标系中作了多组这样的函数，验证了这一结论。学生在分析问题、发现结论、验证结论的过程中，直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学素养有效得到进一步发展。

3.技术支持的深度探究

技术支撑下的深度探究是一种自由的探究、实验性的探究。以往教师给定几个具体函数得出性质，即便是用了几何画板去验证结论，也与探究有着本质的不同。这节课教学中笔者让学生任意确定多组系数，作图观察；让小组之间对比数据和图象，发现规律；通过“图形计算器”使得图象在连续的、大量的数据下来进行动态演示，通过直观感知，最终提炼得到性质。技术支撑的是学生学会数学的过程，只有把技术用在发现规律、获得猜想、解决问题的刀刃上，让技术成为数学探究与发现的“催化剂”，才能让学生更好的理解数学本质，在数学探究活动中学会建构、迁移与应用，培养其创新的精神。

4.数据背景的多元评价

利用宁夏教育云“云校家”及教学助手，课前反馈学习记录、问题讨论、交流展示、作品共享等情况，综合评价学生的理解水平；课中通过在线检测，搜集、统计、分析学生作答数据，辅助教师开展精准评价；课后根据学生不同程度采取分层推送个性化作业和学习资源，引导学生个性发展。可以看到网络支持下的评价贯穿课前自学、课中伴学和课后学生个性发展，这样评价更为完整，帮助学生树立良好学风，促使学生多元创新发展。

基于问题、活动、评价、技术的教学就是要在理解数学、理解教学、理解学生、理解技术的前提下，探求目标增强、内容重组、流程重构、评价多元和技术融合的教学形态。既要尊重知识的内在逻辑，学生的认知规律，也要关注信息技术的发展和国家育人方向的要求，培养会学习、能创新的时代新人。

参考文献：

1. 孙凯. 基于深度学习的数学探究——以“一次函数的图象(2)”教学为例[J]. 中学数学月刊,2018(10):24-27.

注∶本文系宁夏第六届基础教育教学课题《指向深度学习的中学数学单元教学研究》研究成果，课题编号∶JXKT-JC-06-074