GNSS高程测量数据拟合方法分析

1 李君帅 2 徐高明 3 何建斌

摘要：在测绘行业内，GNSS测量方法把传统测绘方式已经取代了，研究高程拟合对基础设施的建设有现实的意义，并且GNSS高程数据进行拟合对我国高程系统应用有着深远的影响。将大地高转化为正常高，转化过程所采用拟合方法。本文针对多项式曲线、曲面拟合法的拟合原理进行阐明并分析。

关键词：；测量方法；GNSS高程数据；多项式曲线、曲面拟合法；拟合原理

1 GNSS高程测量

1.1 高程系统及其相互关系

地球表面上的一点的位置信息一般有横纵坐标和高程来确定。1956年，根据之前的观测资料，确定了国家高程系统，就是根据山东省青岛市观象山来确定的。根据经验测得水准原点的高程是72.289米。之后，国家又确定了“1985国家高程基准”^[1]。其起始的高程值为72.2604m。

重力位是常数的面叫做重力等位面。这是因为地球不同地方的重力值不同，所以重力等位面在不同的地方也就不同^[2]。这两面之间的距离即两面的关系用图的形式描述出来。如下图1-1所示，他们两面之间的距离N，就是正高和大地高的差值。

图1-1 两面距离的图示

正高系统是以大地水准面为参考面的,有了正高系统进而产生了正高的的概念，那就是沿着过该点的重力线到大地水准面的距离叫做正高^[3]。正高用符号 表示。之后就有参考椭球面和大地水准面的关系，即，式中 ， 表示两个面的距离， 表示大地高， 表示正高。

高程异常是沿该点的正常重力线两面之间的差值，即似大地水准面和参考椭球面之间的距离^[4]。用符号表示 。 与 的关系为_。

关于大地高^[5]就是GNSS所测得到的高，在GNSS中它是以参考椭球面为基准的，地球上某点沿着法线到参考椭球面的距离，用符号H表示。有了大地高通过相应的方法把它运用到我国使用的高程系统去，我国普遍使用的是正常高。如图1-2所示。

图1-2高程异常值的图示

上述我们对关于高程的知识做了简单的介绍，目的是为了阐清不同高程系统之间的关系，为之后计算有关高程拟合做下基础，最后总结出大地高、正高和正常高计算公式为: 、 。

2 多项式曲线、曲面拟合法

2.1 多项式曲线拟合法

“多项式曲线拟合法^[6]”把测量范围内测点连接起来当成若干曲线，对于这些曲线采用已知点来确定未知点的方法。对于多项式曲线拟合，它就是插值函数是一个m次的代数多项式。假设所测控制点的大地高与正常高的差值，即高程异常值为 ，坐标为 的关系表达式为下式所示:

(2-l)

有了高程异常值和坐标之间的关系式进而推导出某已知控制点的已知高程异常值与它拟合的值的差值为下式所示:

(2-2)

上式它们之间的差值叫离差。此外，还有一个问题，公式(3-1)中 怎么能表示距离。其实它表示拟合的点位到已知点，就是知道准确坐标的参考点( )的最近距离。我们在数学中学过的点到直线最短距离。 一般为假设的特定坐标。我们通常认为 就是测区内己知点x，y坐标的误差范围不太大的平均值。

即:

(2-3)

在生活实践当中，多项式曲线拟合这种方法很实用，也很常见，但也有它自己本身的缺点和不足之处，即运用多项式进行拟合的时侯，所测量的路线长度不能过于长，一般在300米以内的范围进行。把控制点个数设为n+1个，但是当选取的项数mn+l这种情形困难得多，此时的情形中已知数个数已经大于未知数的个数，运用的项数无法满足求出未知数。这种情况常用最小二乘法的方法来确定系数，并且限制高程异常值与它拟合的值的差值的和是最小值min，下式关系（2-4)所示:

（2-4）

在这种限制下，求解出(2-1)式中的待定系数 。

具体过程是:

求出 的平方和:

（2-5）

再分别对 求偏导数，并令其等于0，得到:

(2-6)

即

即m次多项式系数 应该满足以下方程组

(2-7)

上式方程有且只有一组解，那就是说上式方程解出 有且只有一个。有已知点的高程异常值，进一步求解出未知点的高程异常值 。有了高程异常值 在带入计算正常高的公式 中获得正常高 。当多项式曲线拟合法拟合求解正常高 ，之前我们所讲多项式项数m的选择并不是值大，最后得到效果就好，而是取决相关常数的大小的数学问题。下面分为几个方面，当m取比较值大的时后，常数值会产生不确定的现象。

2.2 多项式曲面拟合法

2.2.1多项式曲面拟合法

当测站点大致呈面状分布时，通常我们运用多项式曲面拟合的方法进行拟合^[7]。其中曲面拟合的表达式为:

(2-8)

这种情况，当控制点个数n等于所需要的项数n时就可以得到下面的矩阵，这样显得直观明了。

(2-9)

多项式

， ，

代表多项式的系数，有了矩阵表达式运用高斯消元法这种方法进而求得高程异常值，待定出来多项式的系数。有了计算结果，就能确定出来各项的系数，之后就把求得的值带到公式（2-8）中求出高程异常，进而求出正常高。当控制点比多项式项数多时，对于这一种情况，就需要运用最小二乘法的方法解出系数。限制离差的值的和为最小值。测站点_和已知测站点的平面坐标x，y有着相关的联系，如下式:

(2-10)

对于各个己知点，都能够使用到上式的关系表达式，满足 的限定，再进行数据处理求解出系数B的大小，有了系数的值求解出某一点的高程异常值 的大小就显得简单多了。经过连续的过程最后求解出 。

另外两种多项式的拟合关系表达式，根据多项式的次数来确定，即：

1. 二次曲面拟合表达式为:

(2-11)

2. 三次曲面拟合表达式为:

(2-12)

多项式计算的难点在于多项式的项数和次数，当两个值比较大时，要进行提前处理，也就是预处理。

3 结论

本文研究的课题是GNSS高程的拟合方法。本论文所研究的基础就是将大地高转化为正常高。运用多项式曲线、曲面拟合法拟合高程，全面地对GNSS拟合原理、转换方法进行了阐述，对GNSS高程转化和拟合产生新的见解。

参考文献：

[1] 唐凯. 邻水县GNSS控制测量及高程拟合研究[D].成都理工大学,2016.

[2] 史俊莉. GPS高程拟合与精度分析[D].合肥工业大学,2010.

[3] 王朝霞,杨昆仑.一种组合式GNSS高程拟合方法的应用研究[J].地下水,2020,42(05):146-149.

[4] 陈伟.基于EIGEN-6C4模型的区域GNSS高程拟合[J].地矿测绘,2020,36(01):17-19.

[5] 邓罡. GPS高程拟合代替水准测量研究[D].中南大学,2012.

[6] 肖远平. GPS高程拟合及其在公路勘察中的应用研究[D].中南大学,2009

[7] 刘利君. GPS水准高程拟合模型的研究与应用[D].辽宁工程技术大学,2008.

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