全分离、半分离和不分离—含参问题的求解技巧

周娟

含参数的有解问题和不等式恒成立问题是高中数学的重点，也是高考的重点和热点，解决该类问题常用的策略是：（1）全分离，即分离参数；（2）半分离，即数形结合；（3）不分离，即分类讨论.选择合适的方法求解含参数的有解问题或者不等式恒成立问题，是高中数学教学的重点之一。

下面结合两个例子，说明以上三种方法的具体运用。

例1 若存在实数 对任意的 ，不等式 恒成立，则整数 的最大值为 。

分析1 根据该不等式的结构，可以将 的情况单独说明；然后当 时，将不等式两边同时除以 ，从而去绝对值后用 表示出参数范围，再利用参数范围两端的关于 的函数的图像，及 的存在性和 的任意性即可求解。

解法1 （全分离）

当 时，不等式显然成立；当 时，不等式化为 ，解得.如图，当 时， 取到最大值，即令 解得 ，又 ，故 的最大值为 。

评注 在此解法中，要将参数 分离出来，就需要把 的情况单独讨论；其次还得数形结合才能使此题变得更加直观。

分析2 在解法1中，两边同除以 后，分别画出 和 的图像，再利用这两个函数图像求解。

解法2 （半分离）

当 时显然成立；当 时，不等式化为 ，分别做出 和 的图像如下：

由图可知，当 与 相切的时候， 取最大值；令 ，整理得 ，由 解得 或 （舍）.再由 解得 ，又 ，故 的最大值为 。

评 注 在此解法中，利用数形结合考虑问题，使得问题变得更简单，理解更容易。

分析3 通过画出不等式两边对应函数的图像，借助图像根据恒成立找到符合条件的临界值从而找到答案。

解法3 （不分离）

要使 时，不等式 恒成立，

由 图可知，显然 时， 更大.则 时，当 与 相切时 的值最大，且 为 与 的交点横坐标，即为方程 的较大的根.令 ，即 ，令 解得 ；将 代入方程 中解得

评注 在画不等式两边对应的函数时，右边的一次函数是确定的，但左边的函数里面含有参数 ，这时就需要对参数 进行讨论。

例2 已知函数 ，其中.若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。

分析 由题意知，对任意的实数 ，不等式 恒成立.所以只需要考虑不等式 对实数 恒成立.由 时成立，得 ，解得 ，这就把 和 的范围都缩小了，于是就可以得出 ，故只需要当 且 时， 恒成立即可。在处理当 且 时， 恒成立这个问题时候，我们参考以上三种方法，显然用全分离过于复杂.我们用半分离和不分离来解决这个问题。

解 法1 （半分离）：

，由图可知，折线 与双曲线的一支 相切时， 最大，可求得此时 ，所以 。

评注 半分离就把原来含参数又复杂的函数分解成两个简单的、易确定易画图的函数，再根据题意和数形结合找到答案，使问题简单化.

解 法2 （不分离）：

，分别画出两边的函数图像可知，只要 恒成立即可，解得.又 ，故

评注 在本题中，半分离相较要简单一些，在处理含参问题的时候，选择合适的方法，可以使我们的运算简化，以便快速找到答案。