三角形等面积法在初中教学中的应用

曾钦

摘要：关于三角形等面积法是近些年初中数学的一种常规解题思路，它的优势在于可以更加快速的找到解题关键，将一些晦涩难懂的知识点变得简单化。本文将结合现有的一些典型例题，利用三角形等面积法解决相关问题，以此来培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。

关键词：三角形等面积法； 初中数学； 具体应用

前言：在现有的初中数学教学中，采用三角形等面积法是一个比较快捷实用的方法，结合几年的教学经验可以发现，即便部分几何题目的问题并没有涉及到三角形的面积计算，但是我们却可以按照图形进行数形结合，将其与实际问题相联系，进而解决这类问题

一、分析三角形之间的相关联系，提升学生简单几何的能力

在解决三角形的面积时，通常会利用到三角形的边长以及角度之间的关系。尤其是在一些几何题目当中可能会让你求解一些与已知条件看似毫无关系的边长和角度，此时，很多同学就会将问题复杂化，但实际上如果你仔细观察就会发现，这道题很可能就是利用了三角形的等面积公式，将一个复杂的几何问题转变为一个解方程的题目，而这类题型的实际目的就是让学生发现图形中图形之间的关系，培养学生的数学几何能力，采用“以数解形”的思想，了解几何题背后的实际含义。

例题1 如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°BC=4,AC=4，求CD的长度

图1

解：∵根据勾股定理可知，AB²=AC²＋BC²

∴AB=4

又∵S△ABC=AB*CD/2=AC*BC/2

即4*CD/2=4*4/2

∴CD=4

二、熟悉三角形的基本属性，培养学生的空间想象能力

在一些复杂的几何题目中，通常会将圆、平行四边形等图形与三角形结合起来，此时学生不仅要熟知三角形的一些基本定理，尤其是等腰三角形、等边三角形等特殊图形，要充分利用45°、60°等角度。同时也要熟悉相关图形的定理，做到活学活用，最后看能否利用等面积法将几何问题转换为简单方程，进而更快速的求解题目。

例题2 在△ABC中，已知三角形AB、AC、BC的长度为3、4、5，求△ABC外接圆与内接圆它们r的比值。

图2

分析：从题目已知条件可知，当前只知道三角形三边的长度，长度不一排除三角形是等腰三角形的可能，其次看看是否存在特殊角度，由勾股定理可知△ABC为直角三角形，因此就可以根据直角三角形斜边即为外接圆的直径，得出外接圆的半径为5/2。其次在直角三角形中做内接圆，可以发现内接圆的半径可以将三角形分成三个小三角形，并且半径分别可以做这几个三角形的高，已知底边长度和大三角形的面积，根据等面积法可以求出内接圆半径这个未知数^[1]。

解：∵3²+4²=5²即AB²+AC²=BC²

∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°

作△ABC的外接圆，半径为R

∵直角三角形斜边即为外接圆的直径

∴R=BC/2=5/2

作△ABC的内接圆，半径为r，圆心为o，分别连接oA、oB、oC

∵S△ABC=AC*AB/2=25/2

又∵S△AoB+S△BoC+S△AoC=S△ABC

∴AB*r/2+ AC*r/2+ BC*r/2=25/2

即3*r/2+ 4*r/2+ 5*r/2=25/2

得出r＝25/24

所以R:r=5/2:25/24=12∶5

三、探究几何和代数之间的关系，充分理解数形结合

当遇到复杂几何问题时，如果单纯利用几何思维作辅助线解题，不仅考察学生较强的空间想象能力，还要将所学的所有定理都能够烂熟于心并且活学活用，很显然大部分学生并不具备这样的能力，尤其是在考试的时候，在有限的时间要花费大量的时间精力去解题，往往会影响学生的心态，最后得不偿失。此时学生可以就题目整体以及其局部考虑是否可以换一个思路利用等面积法将几何问题转换为数字，用代数的知识去解决问题，往往会事半功倍。

例题3 在等腰△ABC中，过 BC上任意一点D，作D点到AB、AC的垂线，垂足分别为E、F，求证DE+DF为定值。

分析：遇到此类问题，一定要充分结合图形来看，如果单纯用几何知识求解，大致思路就是作DF的延长线，过B点作DF延长线上的垂线，垂足为Q，随后利用相似三角形，将DE+DF等量代换为求QD+DF的长度，即QF的长度，而QF又恰好是△ABC的高，最后根据这些关系进行求解。很显然这种方法需要用到几何思维和代数思维过分消耗时间，我们不妨利用三角形等面积法来解决该问题^[2]。

图3

解：连接AD，过C点作AB腰上的高，垂足为Q

∵S△ABC=AB*CQ/2=AB*DE/2+ AC*DF/2

又∵△ABC为等腰三角形，∴AB=AC

∴AB*CQ/2=AB*DE/2+ AB*DF/2=1/2*AB*（DE+DF）

得出CQ=DE+DF

∵CQ为腰AB上的一条高，即CQ是一个定值

∴DE+DF为定值

四、结语

综上可以发现，充分利用三角形等面积的解题方法，不仅可以就未知条件转为已知条件，得出最终的解，更重要的是，找到几何图形之间的关系，将代数思想代入几何思想，并将它转变为代数思想，从而将相关问题简单化，最主要的是培养学生数形结合的能力以及学生的几何思维，因此在日常教学中，教师不应当墨守成规，只是简单传授初中数学的知识点，更关键的是培养学生学习数学的一种思维，因此教师可以在平时多摘取一些三角形等面积的经典案例题，题目难度可以循循渐进，在题目中去引导学生的发散思维，提高数学学习的基本素养。

参考文献：

[1]吴侨敏. 三角形面积法在初中数学解题中的应用[J]. 中学教学参考, 2017, 1000(002):43-44.

[2]张淑芳. 初中数学"面积等积法"的应用举例[J]. 赢未来, 2018,1 000(012):268-268.