数学建模：思维方式的意义转换

黄莲花

摘要：小学数学建模教学一直被业界所重视，优化建模教学，要抓住数学思维方法，在教学中善用数学具象思维与数学抽象思维的相互转化，在反向的建模教学中，提高学生表征问题与运用图式的速度、质量，从而真正掌握数学思维的方法，提升建模能力。

关键词：抽象思维 具象思维 转换 数学建模

小学生数学建模能力的培养作为小学数学教育的一个重要任务，数学思维方法的提升应该成为最为深刻的教学任务。可以说，小学生思维其内，建模其外，是一种表里关系。提高小学生建模能力，单抓外在的训练是远不够的，更重要的是抓内在的思维方法，以内带外，这才是根本。教师进行建模教学，要遵循学生的思维特点，高度重视给学生提供思维方法，促进学生灵活转换思维方式，从而内生真正的数学思想而非仅是数学知识与计算技能，从根本上通过建模活动，使他们能适应时代要求，成为具备自主性与创造力的新一代人才。

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2. 聚焦与建模：抽象思维转换为具象思维

对于抽象的数学命题，利用具象的图形等进行表征，可以全面迅速地吸纳相关的数学信息，进而展开高效而品质良好的数学聚焦思维。这就是由抽象转换为具象的数学思维。

以“希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米。扩建后的操场面积有多大？”教学为例，谈这样的思维转换的教学过程和特点。

1.表征信息与聚焦目标

（ 1）表征信息。上述例题进行教学时，仅从文字语言的描述，要清晰地理解扩建后的操场面积如何计算，对于大部分学生而言还是有一定难度的。于是，依照具象思维画图表征，先画一个原来的长方形操场图（如图1），表征原操场；接着在这个图上加一个由虚线表示的长方形（如图2），表征扩建的面积和扩建后的面积；然后整合后表征出完整的题意（如图3）。

这样，原题中的所有数学信息（长60米，宽30米，加宽10米）全部具象在表征图上，直观明了。

（2）聚焦目标。所谓聚焦，就是只求解决单独的一个问题目标。信息具象后，容易找出问题目标所在的信息，即标准物。原操场为标准物，加上新增加的面积，二者合并起来成为问题解决的目标。

2.检索图式与建立模型

（1）检索图式。利用表征图，关联目标与信息，学生迅速找到解决问题的两个关键点：原来的操场面积加上新增加的面积；依照长方形面积计算公式为“长×宽”，在计算时须把原来的宽加上10米。

（2）建立模型。学生利用具象表征聚焦目标，并关联已有的认知图式后马上建模： 长×（原来的宽+增加后的宽）=扩建后的操场面积。

这样利用思维转换建构的“表征信息——聚焦目标——检索图式——建立模型”的思维框架的建模教学，中、上等学生提高了建模解决抽象问题的效率。下等生解决问题的速度还没那么快，但是，由于他们利用图形表征掌握了问题解决的关键点，所以提高了正确建模解决抽象问题的概率。由于信息具象了，利用视觉信息摄入速度快、效率高的特点，思维不出偏差，这个建模过程也会快速推进。教师这样以图形等表征数学命题的教学过程一旦多次重复，就可以由教师设计图形进化到学生设计图形，有效促进学生掌握这样的思维方法。

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3. 方法与能力：具象思维转换为抽象思维

数学具象物指的是未进行数学命题的具象的数字场，它可能来源于生活或者数学题库；它的数学信息足以进行各种数学命题。这就是数学思维由具象转换为抽象，进行数学发散思维与建模的实践。尤其有价值的是在进行由抽象转换为具象的建模教学以后，再进行反向教学即由具象转换为抽象的建模教学。这样的反向教学，带来思维的转换，对于学生的数学思维和对于教师的教学思维，是一种冲击，也是一种颇具价值的数学思维过程。

如 ，上述教学后，择机开展下面的活动：“希望小学的操场是一个长方形，原来长60米，宽30米，扩建后，宽将增加10米；加宽后总面积有2400平方米。假设你就是老师，要根据上述操场的数据提出问题，然后编制数学题以便教学时使用，可以编不止一道题；编制数学题的同学要准备好答案。请编题！”

这个图形是具象的，编制数学题则是进行抽象转换成文字。这一转换的基本过程是利用数学内部语言对于数学具象物进行信息编码的思维。这种编码是在学生原有的知识与经验的基础上进行的（即使学生运用原有图式进行的），即抽掉原数学具象物的一个数学信息，假设它是未知，成为问题目标。

这样进行思维转换的数学教学过程与特点是：

1.信息编码与目标变换

（1）信息编码。对具象信息先进行抽象文字表达：一共有4个数学信息，一个是长60米，第二个是原宽30米，第三个是操场经过了扩建后宽增加10米，第四个信息是之前计算扩建后操场总面积2400平方米。进而，由学生除掉该数学具象物的某一个数学信息使之成为问题目标，推出可能的抽象的数学问题。

（2）目标变换。从整体学生的编码思维看，一定出现多元发散的情况，即作为学生群体， “问题目标”不断变换，4个数学信息至少能编制出4道数学题。

2.情境多元与思维转换

（1）情境多元。学生个人由于数学基础不同，编制出来的题目数量会有区别，有的能编制2题或以上，有的仅能编制1题。但经过师生、生生互动和交流，必然呈现出多元抽象的数学命题。如：

①希望小学的操场扩建后一共有2400平方米，它的长是60米，宽原有30米，扩建时宽增加多少米？

②希望小学的操场扩建后一共有2400平方米，它的长是60米，扩建时宽增加了10米，原来的宽是多少米？

③希望小学的操场扩建后一共有2400平方米，它的长是60米，扩建时宽增加了10米，原来的面积有多大？

……

这种教学的重要特点是围绕具象的数学场，利用其中的各种信息进行内部编码，使得数学具象物的信息轮流成为问题目标，最终抽象成一种多元的建模情境。

（2）思维转换。上面学生编制出的多元情境包含多层次的数学思维，部分学生的思维发散比较明显，通过展示和交流后，原来只能编出1题的学生，在思维时可能大受启发，进而明白：对信息进行编码，变换问题目标，能够编制出多元抽象数学命题；每一个数学命题都有相对应的数学模型进行计算解决。如：

①扩建后面积÷长-原宽=增宽

②扩建后面积÷长-增宽=原宽

③（扩建后面积÷长-增宽）×长=原面积

……

由于是在一个数学具象物里抽象各种数学信息并相互转换为问题目标，这必然在多元的数学发散思维中促进学生学会更深刻地利用多种思维角度看待数学情境，并学会进行数学思维角度的转换。换句话说，能够进行这样由数学具象思维转换数学抽象思维、并进行多元思维发散的学生，对于数理乃至对于数学思维方法的掌握，肯定是非常有益而且有效的。

这样由“信息编码——目标变换——情境多元——思维转换”思维框架构成的建模教学，部分学生要掌握将会有困难，但是它对于建模学习却是有价值的。即便学生刚开始时不了解教师要求这样是什么意思，经过多次的示范性引领教学过程以后，学生也会领会其数学思维转换和思维发散的本质，也会逐步进入建模的深度学习，通过多元思维的方法，提高建模的能力。这样就体现了“教法转化为学法”的教育理念，也从本质上促进了学生对于数学思维的运用与掌握。

三、表征与图式：具象与抽象思维相互转换

具象思维是一种围绕事物的表层进行的思维，而抽象思维是围绕事物的内里进行的思维，它们本质上是思维的两种类别，具有彼此依赖而又彼此对立的辩证统一的关系。它们因为具有统一性，所以是可以相互转换的。小学生在学习数学建模过程中将逐步理解这一思想。

依照西蒙《认知》一书所论，表征和图式是认知的重要因素。^[1]表征和图式是具象思维与抽象思维相互转换的关键节点，也就是数学建模的关键点。

表 征即信息的呈现方式。^[2]表征一共有四种，第一种是具象的内部表征，这是看不见的，然后表达出来，成为第二种表征即具象的外部表征；第三种是抽象的内部表征，也是看不见的，然后表达出来，成为第四种表征即抽象的外部表征。如，对长方形周长的表征方式有：具象的内部表征 外部表征（如图4或图5）；抽象的内部表征 外部表征（如图6）。

当小学生头脑形成图式时，表明思维已经有一定的结果。小学生的图式有二种，一是具象的图式，如图形、模型等；二是抽象的图式，即成形而存入记忆的数学模子或式子。

具象与抽象思维相互转换，具有如下特点：

1.已有图式表征与多元情境表征

小学生将抽象数学命题转换为具象的数学图式，依据的是熟悉的生活经验或者套用原认知结构中保 存的图式。为了促进这种思维转换，教师应该想办法增强小学生的数学生活经验，比如关于长方形认识及其计算的教学，教师应该布置观察生活中的长方形建筑或物品，撰写日记或编写数学问题等，促进其长方形图式的建立。同时，进行适当的复习、练习都是具有意义与价值的，关键在于适当。

当小学生将抽象数学命题转换为具象的数学图式的时候，会先在头脑内部进行具象的表征。内部表征的速度即是其思维解决问题的速度。然后表达出来成为外部表征，这时候就立刻进行建模，接着是验证数学思维的结果。这时候的速度就是图式内外转换的速度，速度快而且正确的，就是美国耶鲁大学心理学家斯腾伯格指出的经验智力（迎接新情境新任务的挑战和信息编码自动化程度高）。

当小学生将具象的现实数学场转换为抽象的数学式子，可以依照思维的发散程度，形成不同的抽象数学问题。发散得越多，证明其对于数学思维本质的掌握越好。为了促进发散思维能力的发展和这种思维转换，教师在进行此类教学时，要尽量鼓励学生将具象数学物的数学因子转换为问题目标，越多越好。哪怕数学具象物原只有一个问题目标，教师也要在解决完这个问题目标以后，把其它数学因子也逐次转换成问题目标。

2.数学思维方法与数学建模能力

小学生在头脑内部将具象数学物进行表征，然后才进行外部的表征。这时候进行数学建模是顺理成章的事情。接下来，就可以进行其数学思维结果的验证了。这种表征的熟练程度，表明了数学思维的速度，而数学思维速度与信息编码的能力也是有关的。

实际上，小学生进行计算练习就是训练信息编码的过程。斯腾伯格的智力三元理论告诉我们：计算教学和小学生的智力是具有某种程度的关联的，也是具有一定价值的，但却不是最大的数学价值。因为人的智力包含有成分智力、经验智力与情境智力，即便在经验智力里，最突出的也是迎接新情境、新任务挑战的能力。

^[3]所以，归根结底，掌握数学思维方法，提高数学思维才是最根本的。

在上面的论述中，着重说明小学数学教学中具象思维与抽象思维相互转换的过程与特点，其价值在于促进小学生思维方法的掌握与思维能力的提升，从而提高小学生建模能力。也许这样的追求需要教师重构数学教学内容的安排，需要重新学习一点心理学理论，需要重新设计建模教学过程，但是，只要是对于学生的健康成长更加有利，都是值得花力气去探索的。

参考文献：

[1]赫伯特.西蒙.认知[M]. 荆其诚,张厚粲.译.北京：中国人民大学出版社，2020:01.

[2]埃利泽.斯腾柏格.神经的逻辑[M].高天羽译.南宁：广西师范大学出版社，2018:12.

[3]埃利泽.斯腾柏格.超越IQ：人类智力的三元理论[M]. 俞晓琳,吴国宏.译.上海：华东师范大学出版社，2000:02.

作者简介：黄莲花，1968年出生，女，福建南安（籍贯），福建省厦门市文安小学，高级教师，本科学历。 [e-mail]，361009；

厦门市名师工作室2020年度课题 小学数学建模教学过程最优化实践研究 XMMS2020038

课题：

厦门市名师工作室2020年度课题 小学数学建模过程最优化实践研究 XMMS2020038