四色猜想证明

苑世强

摘要：本文根据自然数存在偶数和奇数的特点，深入分析了四色问题，对四色问题进行了数学证明，最终证明了四色猜想是正确的。

关键词： 四色猜想，偶数，奇数，数学证明。

1 引言

四色问题又称四色猜想，是世界三大数学猜想之一。

四色问题是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

用数学语言表示是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

四色问题，最先由英国大学生古德里提出来的。1852年10月23日，德·摩尔根在致哈密顿的一封信中，提供了有关四色定理来源的最原始的记载，至今已有169年。

一个多世纪以来，人们从不同角度进行探索，试图对四色问题给予证明， 最新的证明是美国数学家阿佩尔（Kenneth Appel）与哈肯（Wolfgang Haken）的证明。

1976年6月美国数学家阿佩尔（Kenneth Appel）与哈肯（Wolfgang Haken）在两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，被认为是完成了四色定理的证明。

但严格讲，这是对四色猜想的一种更大范围的验证，还不是数学意义上的证明。因为将平面任意地细分为不相重叠的区域可以是无穷多的区域，对有限区域的证明只能算是一种一定范围的验证。也就是说，直到今天，人们还没有从数学意义上给予四色猜想真正的证明。

本文根据自然数的性质、特征、规律，对四色猜想给予数学上的证明。

2 证明

已知，自然数是指大于等于0的正整数（不包括负数、小数、分数等）。

已知，自然数可分为奇数和偶数。

奇数：不能被2整除的数叫奇数。奇数除以2，余数为1。

偶数：能被2整除的数叫偶数。偶数除以2，余数为0。

已知，任何可被自然数进行表示的事物都可分为奇数个和偶数个。

已知，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，我们都可以用自然数0、1、2、3、…n，来表示它们的个数。

已知，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，以任意一个区域为中心时，围绕它与它相邻的不相重叠的区域，不是偶数个区域就是奇数个区域。

设，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，若每一个区域都可以用一个数字来标记。问，用几个数字，可实现不会使相邻的两个区域得到相同的数字。

证明：

已知，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，以任意一个区域为中心时围绕它与它相邻的不相重叠的区域，不是偶数个区域就是奇数个区域。

见下图1

（图1）

当以任意一个区域为中心，围绕这个中心区域的相邻区域是偶数个区域时，由于偶数能被2整除，余数为0，所以，若中心区域用数字1来标记，围绕中心区域的相邻区域，用数字2和3来标记，这个中心区域和与它相邻的区域就不会出现数字相同的情况。即用1、2、3这三个数字来标记即可。见下图2。

2		3
3	1		2
2			3
3		2

（图2）

当围绕这个中心区域的相邻区域是奇数个区域时，由于奇数不能被2整除，奇数除以2，余数为1。所以，若中心区域用数字1来标记，围绕这个中心区域的相邻区域，用数字2和3来标记，必然出现相邻区域的标记数字有相同的情况。

即，中心区域标记为1，围绕中心区域与它相邻的区域分别用2和3进行标记时，余下的一个区域，无论用数字2还是用数字3来标记，都会出现相邻区域的标记数字有相同的情况。见下图3。

2		3
3	1			2
2				3
3		2或3	2

（图3）

要使相邻区域标记的数字不同，余出的那个区域必须用新的数字4标记。

即，当围绕中心区域的相邻区域是奇数个区域时，由于奇数不能被2整除，奇数除以2，余数为1。所以，若中心区域用数字1来标记，围绕这个中心区域的相邻区域用2、3和4三个数字来标记，这时中心区域和与它相邻的区域，就不会出现相邻的两个区域的数字相同的情况。即用1、2、3、4这四个数字来标记即可。见下图4。

2		3
3	1			2
2				3
3		4	2

（图4）

因为，每一个围绕中心区域的相邻区域，在作为中心区域向外拓展时，围绕它们的区域的个数，也都是，不是偶数个区域就是奇数个区域，都可以用1、2、3、4四个数字来进行标记，使相邻区域的数字不出现相同的情况。

比如，以上图（图4）中，标记为4的区域作为中心区域向外拓展时，围绕标记为4的区域原来有相邻的区域是三个，分别标记数字为3、1、2。

设，围绕标记4中心区域的相邻区域是奇数个区域，即在原来三个相邻区域的基础上增加2n个相邻区域，对新增加的2n个区域，从标记3区域相邻区域开始标记时，有1和2两个数字可用，这样，对2n可用1、3进行标记，也可用2、3进行标记，还可用2、1进行标记，即用1、2、3、4四个数字，就可使标记为4的中心区域和围绕它的相邻区域数字不出现相同情况。见下图5。

同理，拓展到无穷多区域，用1、2、3、4四个数字进行标记，不会使相邻的两个区域数字相同。

其实，美国数学家阿佩尔与哈肯用电子计算机所做的100亿判断，就是对用4个数字进行标记，使相邻区域数字不同的拓展验证。

2			3
3	1						2
2							3
3			4		2
		1		3

（图5）

可见，无论围绕中心区域的相邻区域是多少个，它只有两种情况，即，它们不是偶数个区域，就是奇数个区域。

所以，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，以任意一个区域为中心时，围绕它与它相邻的不相重叠的区域，全部为偶数区域时，使用1、2、3三个数字来进行标记，就能保证相邻数字不出现相同的情况。

当把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，以任意一个区域为中心时，围绕它与它相邻的不相重叠的区域，全部为奇数区域时，使用1、2、3、4四个数字来进行标记，就能保证相邻数字不出现相同的情况。

由于，把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域是随机的，所以，必须使用1、2、3、4，四个数字来进行标记，才能保证相邻区域数字不出现相同的情况。

而对于每一个围绕这个中心区域的相邻区域而言，它们又是未来的中心区域，由于围绕中心区域的相邻区域无论数量是多少，它们不是偶数个区域就是奇数个区域，所以使用1、2、3、4四个数字，就可以使相邻区域数字不出现相同的情况。

证毕。

由于四色猜想已被证明，四色猜想就可以称为四色定理，它可表示如下：

四色定理：把任意一个平面，任意分为不相重叠的无穷多个区域，用1、2、

3、4四个数字来进行标记区域时，可实现相邻的区域数字不相同。

3、结论

自然事物，凡是可用1、2、3、…n自然数进行表示时，对它们任意进行整数分割时，只有两种情况，或是偶数份额或是奇数份额。

在一个平面中，将平面分成任意多个相邻的不重叠区域时，无论以那个区域为中心时，围绕这个中心与它相邻的四周区域不是成偶数份额，就是成奇数份额。

当它是偶数份额时，可用三个数字1、2、3，分别标记一个区域，而使相邻区域的数字不同。

当它是奇数份额时，可用四个数字1、2、3、4，分别标记一个区域，而使相邻区域的数字不相同。

由于分割是任意的，所以，当以某个区域为中心时，它周围相邻的区域，可能是偶数份额，也可能是奇数份额，因此，可用四个数字1、2、3、4，分别标记一个区域，而使相邻区域的数字不同。

作者简介：姓名：苑世强。职称：副教授。出生年月：1958年8月19日 学位：工学学士 单位：大连海事大学马克思主义学院。 主要业务和研究方向：马克思主义理论、自然辩证法、数学、物理。

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