《鸽巢问题》备课感悟

郑荔青

《鸽巢问题》是人教版小学六年级下册第五单元 “数学广角”的内容。“鸽巢问题”亦称为“抽屉原理”或“鸽巢原理”。实际上它是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，是一种数学的思想方法。这个数学原理最早是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出并运用于解决数学论中的问题，所以该原理又称为“狄利克雷原理”。从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。为了更好地实现人文对话、师生互动，下面与老师们交流几点本人在本单元备课中的几点感悟。

一、立足学生，解读教材

“鸽巢问题”的理论虽不复杂，实际应用却是千变万化的。对于六年级的小学生，以生活经验为基础，去探究抽屉原理，感悟数学模型，渗透数学思想却是不容易。特别是“鸽巢问题”的逆用，学生对逆向思维的思考可能会感到困难，有时会找不到思考的方向。教材通过几个直观的例子，感受抽屉原理的模型，解决一些简单的实际问题。例1以铅笔和笔筒为素材，向学生介绍了最简单的抽屉原理，即物体数比抽屉数多1的情况。教学时运用“枚举法”、“假设法”来加以证明，着重运用假设法，即平均分的思想。在具体的问题中让学生理解两个关键词语“总有”和“至少”的含义，形成抽屉原理的初步认识。例2以书本和抽屉为素材，描述“鸽巢问题”更一般的形式。即“把多于kn个物体放入n个抽屉，总有一个抽屉里至少有（k+1）个物体”。k＝1时，其实就是例1的形式。教材还以算式7÷3＝2……1，引导学生更数学化地理解假设法的核心思路。在此基础上，通过增加书本和抽屉的数量，引导学生利用前面的方法进行类推，提升对“抽屉原理”的理解和应用水平。

二、确定目标，践行文本

在多次研读教材后，可以发现本节课的知识目标并不明显，蕴含的数学思想方法却很深刻。本单元的习题，大多以“为什么”为问题要求学生“说理”的，这样的形式，学生平常较少接触，他们的回答方式可能不一样，表达的语言也可能不规范。对此，教师要多鼓励学生“说理”，允许学生个性化的思考和表达。在学校集体备课中，第一次教学思路想从原理一（商1余几）、原理二（商几余几）中建构模型，感悟：“至少数＝商+1”，两个原理之间存在着特殊与一般的关系。认为学生能从原理一顺利过渡到原理二。可是在试教后，发现学生的思维不清晰了，课上的操作、设疑、观察、思考等活动只是部分学生的行为。随着学习情境的不断变化，学生的思维只停留在问题的层面上，没有真正地从本质上去思考问题，对抽屉原理的模型似懂非懂。再次备课时，老师们从学生思维发展的实际情况出发，追寻抽屉原理的本质，通过研读抽屉原理的有关数学知识，认识到“当物体数比抽屉数多1时，总有一个抽屉至少有2个物体”这个数学模型。我们以此作为学生抽屉原理的起点，取材时利用“把铅笔放进笔筒里”、“把鸽子放进鸽笼里”的情境，去感悟最简单的抽屉原理模型。然后利用“分书本”、“抢椅子”、“过生日”等具体的素材，同时通过不断改变数据的方法，引导学生从若干个数学化的有余数算式中归纳出一般性的结论。

三、设置问题，抓住本质

具体问题“数学化”的过程中，问题是核心，也是推动思维的基本手段，如何提出有价值的问题，是我们备课时一直关注的问题。

例如，把4支铅笔放进3个笔筒里，当学生摆出四种摆法后，第一次试教时，教师问“这4种摆法各不一样，你发现了什么？”学生1：“有的笔筒放得多，有的笔筒放得少”； 学生2：“笔筒里最多的放了4支铅笔”；学生3：“有的笔筒里放了笔，有的笔筒里没放笔”；……这样看似开放的问题，但因问题范围太宽泛、缺乏启发性，使学生思路模型，回答不着要点的边际，不能从抽屉原理的本质去思考问题、发现规律。第二次备课时，我们注意到这个问题的纰漏，尝试改变问题为“观察每种摆法中放得最多的那个笔筒，你发现了什么？”这样的改变使问题富有针对性，学生也能想得更准。得出：每种摆法中总有一个笔筒放进2支或2支以上的铅笔。接着观察结果，同时追问：“放得最多的那个笔筒，有可能只放一支吗？”通过假设说理，引出反证法，从而得出：不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。”又如教学例1后，教师问：抽屉原理仅仅研究物体数比抽屉数多1的情况吗？多2、多3、多4时，结果又是怎样呢？……”这样的问题，为继续学习抽屉原理埋下知识延伸点，引发学生深入思考与探究。

教为学服务，课堂上每一次提问，不仅仅只为了得到问题的标准答案，而是在一次次的问中引导学生进一步探索，理清学生思路，提升学生的思维。

四、利用模型，解决问题

“鸽巢问题”的变式很多，应用广泛。教材习题（做一做及练习十三）以学生熟悉的或者感兴趣的材料为学习素材（有属相、飞镖素材的说理，还有涂色、抽筷子等操作活动），一方面增强学生的学习兴趣，另一方面提升学生思维的灵活性。如练习十三第6题让学生先涂一涂，学生在涂色时，会发现涂三行，有

8种不同的涂法，所以涂九列，一定会出现至少2列涂法相同。涂两行，有4种不同的涂法，相当于9÷4的情况，会出现至少3列涂法相同。

在现实生活中，我们经常会看到或隐或现的“抽屉原理”，如彩票中奖、岗位竞选等。当然在我们感受到抽屉原理的应用价值的同时，也难免感受到抽屉原理的制约性，我们绝对不能对抽屉原理掉以轻心，要对这一原理加以重视、善于运用。