例探导数解决零点问题

赵永祥

例1探.已知函数 ， ， ．

（1）若 ，证明：当 时， ；

（2）讨论 在 上零点的个数．

分析：（1）作差，令 ，利用导数证明当 ，有 即可；（2）对于 ，求出 ，对a讨论，利用零点存在定理讨论零点个数．

解析：（1）令 ，所以

当 时， ， ，所以 ．

所以 在 上单调递增．当 ，有 ，

所以 在 上恒成立．

（2） ．所以 ，

设 ， ，

①当 时，因为 ，所以 ，而 ，

所以 ，即 恒成立，所以 零点个数为1个．

②当 时， ，所以 在 上递增，而 ，所以 ，所以 在 上递增，

因为 ，所以 是唯一零点，此时 零点个数为1个．

③当 时， ，所以 在 上递增，而 ， ，所以存在 ，有 ，

所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，

所以当 时， 取得最小值 ，而 ， ，

因为 图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，

在 上有唯一零点，因为 也是零点，所以 在 上有2个零点．

综上：当 时， 在 上有1个零点；当 时， 在 上有2个零点．

再探.已知函数 （ ）.（1）

当 时，若函数 的两个零点为 ，判断 是否其导函数 的零点？并说明理由

解析:（1）当 时， ，求导

为函数 的两个零点，

两式作差得

，即

令 ， ，

令 ，求导 ，

， ， 在 上单调递增，

即 ，即

又 ， ， ，

，即 ，

所以 不是导函数 的零点．

总之，高考对导数解决零点一般考查以下问题：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；（2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、函数单调性有机结合，设计综合题．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解．

利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想；

（2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题；

（3）分离参变量，即由 分离参变量，得 ，研究直线 与 的图象的交点问题．

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