提高学生问题解决能力的策略初探——以圆柱和圆锥问题解决教学为例

刘禹明

摘要：学生在解决圆柱和圆锥问题时，容易出现乱用公式、计算不准确、没注意单位换算等问题。教学中，采取加强实践活动，培养空间观念，对比计算公式，理清数量关系，巧列综合算式，强化打草稿习惯，弄清长度、面积、体积单位的区别和联系等策略，可以较好地提高学生圆柱和圆锥问题解决的能力。

关键词：圆柱和圆锥，问题解决，教学策略

西师版数学六年级下册第二单元圆柱和圆锥，主要包括圆柱的认识、圆柱的表面积和圆柱的体积、圆锥的认识和圆锥的体积等知识。学习和掌握这些知识，需要有较强的空间观念和计算能力，具有一定的教学难度，不可掉以轻心。特别是在解决圆柱的侧面积和表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等实际问题时，部分学生容易出现乱用公式、计算不准确、没注意单位换算等问题，能力急需提高。

本单元涉及圆的周长、圆的面积、圆柱的侧面积、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等的认识和理解，需要较强的空间观念，如果学生的空间观念不强，就不能正确理解和掌握有关表面积和体积的计算公式。本单元涉及的公式多，公式的变化形式也多，如已知底面半径求圆柱的侧面积、表面积和体积，已知底面直径求圆柱的侧面积、表面积和体积，已知底面周长求圆柱的侧面积、表面积和体积等，学生很容易混淆，常常乱用公式。本单元涉及的这些公式都比较复杂，计算步骤大部分都在四步以上，而且都涉及圆周率3.14，参与计算的有效数位较多，很不容易计算准确。在解决问题的过程中，涉及到长度、面积、体积单位之间的换算，学生容易出现没注意到单位不一致不对应、忘记了进行单位换算、弄错了单位间的进率等问题。

如何才能提高学生圆柱和圆锥问题解决的能力呢？通过实践，我初步探索出以下教学策略。

一、加强实践活动，培养空间观念。

实践活动是帮助学生认识几何图形乃至客观事物不可或缺的重要手段，教学中要高度重视学生的观察和操作活动，让学生在活动中认识图形并把握其特征，发现图形之间的联系，掌握求侧面积、表面积及体积的基本方法。

例如，开展给圆柱形空瓶穿衣的活动，要求学生用2张圆形纸片和1张长方形纸片刚好将圆柱形空瓶包完，让学生理解圆柱的表面积包括2个圆形底面和1个侧面，发现圆柱的侧面积与展开后的长方形面积的关系，长方形的长就是圆柱的底面周长，长方形的宽就是圆柱的高。

又如，操作推导圆柱体积公式的学具，将圆柱分割、拼成近似长方体后，发现圆柱的体积与长方体体积之间的关系，从而理解圆柱的体积计算方法和长方体一样，都可以用底面积乘高。

再如，探索圆锥的体积时，让学生用等底等高的圆柱形和圆锥形容器做装水的实验，发现等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，等底等高的圆锥的体积是圆柱的三分之一。

学生经历了这些实践活动后，能够比较清晰地在头脑中形成这些几何图形的表象。只有增强了空间观念，才能较好地理解和掌握表面积和体积的计算方法。

单独讲圆柱和圆锥，学生的空间观念还是比较清晰，但是在解决具体的圆柱和圆锥的实际问题时，就不是那么一回事儿了，还要让这些几何图形的表象和生活实际中的几何图形联系起来。例如，圆柱形油桶有2个底面和1 个侧面，圆柱形水池有1个底面和1 个侧面，圆柱形通风管只有1 个侧面等。学生有了这些直接或间接的生活经验，建立起来的空间观念才会更加牢固。

二、比较计算公式，理清数量关系。

本单元涉及的公式较多，公式的变化形式也多，要让学生对这些公式进行比较，弄清它们之间的区别和联系。

1、圆的周长与面积计算公式。

圆的周长和面积计算，是计算圆柱的侧面积、表面积和体积，以及计算圆锥的体积的基础。

已知直径求周长：

已知半径求周长：

比较两个周长计算公式， 这里为什么要乘2？因为圆的直径是半径的2倍。

已知半径求面积：

已知直径求面积：

已知周长求面积：

比较这三个面积计算公式， 和 都是在求半径，求圆的面积，首先要找到半径，只要记住 就可以了。

比较圆的周长和面积计算公式，圆的周长是指围绕圆一周的长度，用长度单位，圆的周长是直径的 倍，所以 ，圆的面积是指圆内平面的大小，用面积单位，圆的面积是以半径为边长的正方形面积的 倍，所以 。

2、圆柱的侧面积计算公式。

已知圆柱底面周长求侧面积：

已知圆柱底面直径求侧面积：

已知圆柱底面半径求侧面积：

比较三个侧面积计算公式， 和 都是在求圆柱的底面周长，求圆柱的侧面积，只要记住 就行了。

3. 圆柱的表面积计算公式。

已知圆柱的底面半径和高求表面积：

比较圆柱的表面积和侧面积计算公式，圆柱的表面积在求出侧面积后，还要加上两个底面积， 是在求圆柱的侧面积， 是在求圆柱的底面积， 是因为圆柱有两个圆形底面。

比较两个底面积 与侧面积 。 中的2表示圆柱有两个圆形底面。

中的2表示圆的直径是半径的两倍，是先求底面直径，再求底面周长，最后求圆柱的侧面积。

3. 圆柱的体积计算公式。

已知圆柱的底面半径和高求体积：

比较圆柱的体积与表面积。表面积是指平面的大小，用面积单位，圆柱的表面积包括1个侧面和2个底面。圆柱的体积是指圆柱体所占空间的大小，用体积单位。

比较圆柱的体积计算公式 与侧面积计算公式 ，前者是底面积乘高，后者是底面周长乘高。

比较计算圆柱体积的方法 与计算表面积时求两个底面积的方法 ，都要先求出底面积，但前者是用底面积乘高，是在求所占空间的的大小，后者是用底面积乘2，因为圆柱有2个圆形底面，是在求平面的大小。

5、圆锥的体积计算公式。

已知圆锥的底面半径和高求体积：

比较圆锥的体积与圆柱的体积计算公式，为什么求圆锥的体积要乘 ？因为等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，等底等高的圆锥的体积是圆柱的 。

比较，是认识事物特征的基本方法之一。通过比较，可以更好地理解和掌握圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积的计算方法。

在解决圆柱和圆锥问题时，首先要求学生在理解题意的基础上，分析数量关系，写出计算公式，再列式进行解答，从而较好地避免了乱用公式的现象发生。

三、强化打草稿的习惯。

圆柱的表面积和体积、圆锥的体积计算公式都比较复杂，计算步骤大部分都在四步以上，而且都涉及圆周率3.14，参与计算的有效数位较多，计算很容易出错。有的是因为计算不仔细，只要中间有一步出错，最后结果就不会正确。到了六年级，部分学生开始偷懒了，看到计算步骤太多，不愿意打草稿，要么凭感觉进行口算，要么找同学抄一个答案。

教学中，要培养学生认真打草稿的习惯。发现计算不准确、抄答案等问题后，除了对学生进行认真做事、诚信做人的教育外，还对作业提出了新的要求。要求学生在解答问题时，先写出运用的公式，再列出算式，然后用递等式呈现主要的计算过程。同时要求，每个学生必须准备一个规范的草稿本，除了两位数乘一位数的计算等可以进行口算之外，其余的计算必须在草稿本上像正式作业那样一个一个、整齐规范地进行演算，并将演算稿同正式作业本一同上交，接受老师的检查。

执行新的作业要求后，强化了打草稿的习惯，计算的正确率就得到了较大提高。

四、巧列综合算式。

既然学生嫌计算太复杂，想投机取巧，那么，有没有可以使计算简便一些的方法呢？有，那就是巧列综合算式。

由于解决圆柱和圆锥问题的计算步骤较多，有的学生喜欢分步列式，一步一步地算，以为这样就可以化繁为简，其实，很多时候都是走了冤枉路。巧列综合算式，可以利用乘法运算律使计算更为简便。

教材中，也有意识地进行了引导。例如，教材第28页的例4 ：圆柱的底面周长是31.4cm，圆柱的高是20cm，这个圆柱的体积是多少立方厘米？部分同学就会套用公式 来求半径：31.4÷（2×3.14）=31.4÷6.28=5（cm）。这里的计算并不算复杂，这样做也没有问题，但是，再看看教材中的示范： ，先将分子31.4和分母中的3.14约分，分子还有10，再与分母中的2约分，结果是5，这样计算比较简便。

在练习中，巧列综合算式可以使计算变得简便就更加明显。例如：一个水池长6.28m，宽2.4m，深1.6m。如果用直径20cm的进水管向水池里注水，水流速度按每分80m计算，注满一池水需要多少时间？先进行单位换算：20cm=0.2m，再求出半径：0.2÷2=0.1（m）。后面，如果这样做：先求出水池的容积6.28×2.4×1.6=24.1152（ ），再求出每分注水的体积3.14× ×80=2.512（ ），最后求出注满一池水需要多少时间24.1152÷2.512=9.6（分），计算过程复杂，最后竟出现了除数是4位数的计算，难度确实很大。如果这样巧列综合算式： ，先将分子的6.28与分母的3.14约分，再将分子的2.4与分母的 的结果0.8约分，最后口算2×3×1.6便能很快算出正确结果。

教学中，要通过对比让学生体会巧列综合算式的好处，引导他们巧列综合算式，既可以提高计算的正确率，又能让学生的思维更加灵活。

五、弄清长度、面积、体积单位的区别和联系。

解决圆柱和圆锥问题，离不开长度、面积、体积单位的换算。

首先，要加深对长度、面积、体积的认识。比如，说到长度，就要让学生想到两点间的距离，伸出两手的食指比一比。说到表面积，就要让学生想到平面的大小，用手掌做摸桌面的姿势。说到体积，就要让学生想到物体所占空间的大小，用双手做握抱球体的姿势。

其次，要让学生认识到长度、面积、体积是不同类的量，它们的意义不同，单位不同，计算方法也不同。

再有，要让学生认识长度、面积、体积单位的区别和联系。长度、面积、体积单位是对应的，例如，长度为cm，面积单位就为 ，体积单位就为 ，这是根据面积和体积的意义来的。长度单位间、面积单位间、体积单位间的进率也是有联系的，例如，1dm=10cm，边长为10cm的正方形，面积为10×10=100（

），所以1 =100 。棱长为10cm的正方体，体积为10×10×10=1000（ ），所以1 =1000 。这是根据面积和体积的计算方法来的。

为了让学生更好地掌握长度单位、面积单位、体积单位间的进率，可以用下图分析它们之间的区别和联系。

长度单位：m 10 dm 10 cm

面积单位：m² 100 dm² 100 cm²

体积单位：m³ 1000 dm³ 1000 cm³

弄清了长度、面积、体积单位的区别和联系，在解决圆柱和圆锥问题时就可以避免乱用单位、乱进行单位换算的现象发生。

在教学中，难免会出现这样那样的问题，出现问题后，要仔细分析原因，找到解决问题的策略。在圆柱和圆锥问题解决的教学中，采取加强实践活动，培养空间观念，对比计算公式，理清数量关系，巧列综合算式，强化打草稿习惯，弄清长度、面积、体积单位的区别和联系等策略，可以较好地提高学生解决这类问题的能力。

参考文献：

[1]义务教育教科书数学教学参考书．六年级．下册／宋乃庆主编．－－重庆：西南师范大学出版社，2015．1 ISBN 987-7-5621-7318-2

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