一元函数导数的应用

李东方

摘要：一元函数的导数是微积分学中最基本的概念之一,也是微积分学中的核心概念之一，并且一元函数的导数有着极其广泛的应用。本文主要浅谈一元函数的导数在研究函数的性质，经济学和日常生活中的一些常见应用。

关键词: 导数；微积分；经济学

1. 一元函数的导数在研究函数性质方面的应用

我们知道，一元函数的导数本质反映的是一个函数关于自变量的变化率问题，它刻化了

函数在自变量取值的某一个点的局部性质，因此，在研究函数的性质方面，有着及其广泛的应用。由于篇幅所限，我们这里主要浅谈一下一元函数的导数在研究函数的性质方面，最常见的的几个应用。

1. 利用函数的导数求函数增量的近似表达式和精确表达式

函 数增量的近似表达式：设 在 内可导，则 恒有

函 数增量的精确表达式：设 在 内可导，则 恒有

注1：在实际问题中，我们经常需要计算函数增量，然而，由于函数的表达式往往都比较复杂，从而求函数的增量很麻烦甚至无法求出，这时，我们一般可以用（*）式来近似函数的增量，但在理论研究中，有时需要函数增量的准确式，这时（**）就显示出他的实用价值了。

2.利用函数的导数求函数曲线的切线方程与法线方程

根 据导数的几何意义可知，函数 曲线在点 处的切线方程为：

；法线方程为：

3. 利用函数的导数求极限

利用函数的导数求极限，其一就是我们经常用的洛必达法则，其二就是利用泰勒公式求极限。

4.利用函数的导数判别函数的单调性，凹凸性

我们知道，函数的单调性，凹凸性对于较准确做出函数的图形，是及其重要的。

判 别法1： 内，

（ 或 ），则 上单调增加（或单调减少）。

判 别法2： 且在 内， （或 ）

则 的图形是凹的（或凸的）。

注2：将判别法中的闭区间改成其它的任何区间，结论都成立。

注 3：判别法中，如果区间内 的点仅为孤立点，其它的点恒有导数大于零（或小于零），结论也仍然成立。

5.利用函数的导数求函数的极值，最值

判 别法3：如果 又在 左侧邻

近 时， ；在 右侧邻近时， ，

判 别法4：

由极值的充要条件可得求极值的步骤：1.求出极值的可疑点，即驻点和不可导点，2.考

察 函数 在这些点的连续性，以及在这些点左右邻近 的符号，以便确定 是否为极值。3.求出极值。

注 4：当 的二阶导数易求时，如果 在驻点处， ，则 一定为极值。如果 ，则第二充分条件失效，还得用第一充分条件来判断。

求最值的方法：将区间内的极值可疑点的函数值与区间端点的函数值加以比较，从而求出函数在区间上的最值。

注 5：如果 在 上连续，且在 只有一个极值可疑点，则这个极值可疑

点的函数值就是所求的最值。

注 6：实际问题中，如果根据问题的性质就可以断定可导函数 确有最值，且一定在区间内部取得，这时，如果 在区间内部只有一个根 时，则就可以断定

就为所求的最值。

6 利用函数导数求函数的拐点

由于函数的拐点是连续曲线上凹与凸部分的分界点，所以我们很容易得到求曲线拐点的方法（和求极值的方法完全类似）：

求函数曲线的拐点的方法：求出函数二阶导数为零的根以及二阶导数不存在的连续点，

考 察一下这些点左右邻近二阶导数的符号是否变号？如果符号相异，则 为拐点，否则 不是拐点。

7.利用函数的导数研究方程的根

利用函数的导数，来研究方程的根，我们最常见的就是依据就是微分中值定理，和函数

的单调性来探讨。

8.利用函数的导数，证明不等式

利用函数的导数，证明不等式，主要是（1）利用微分中值定理，（2）利用单调性，（3）利用凹凸性。

利用导数，研究函数的性质，还有很多方面的应用，由于作者水平及篇幅所限，只能浅谈如此，望读者谅解。

二．一元函数的导数在经济学中的应用

我们在研究经济问题时，常常会涉及到经济变量的导数问题，在经济学中，对这些经济变量的导数，称其为边际。本文主要讨论一元经济函数的边际和弹性问题.

1.边际成本：假设某产品的总成本 是产量 的函数 ，则 称为产品当产量为 个单位时的边际成本。它在经济学中的意义：当产品的产量再增加一单位时，总成本的增加量。

2.边际收入：假设某产品的总收入 是产量 的函数 ，则 称为产品当产量为 个单位时的边际收入。它在经济学中的意义：在产量为 个单位时，再多生产并销售一个单位，产品的收入大约等于边际收入 .

3.边际利润：设某产品的总利润 是产量 的函数 ，则称 为产品当产量为 个单位时的边际利润. 它在经济学中的意义：产量为 个单位时，在多销售一个单位产品（或销售最后一个单位产品）的利润大约等于边际利润 .

4.边际消费：设居民的消费支出 是国民收入 的函数 ，则 称为边际消费。它在经济学中的意义：表示收入增加一个单位时，消费相应增加的量。

5.边际储蓄：设居民的储蓄 是国民收入 的函数 ，则 称为边际储蓄。它在经济学中的意义：表示收入增加一个单位时，储蓄相应增加的量。

6.弹性：

弹性是指一个经济变量发生改变时, 另一个经济变量也随之改变，且二者改变的百分比是衡量一个经济变量对另一个经济变量改变的密切程度。比如，需求弹性所涉及的是商品的需求量的变化情况相对商品价格的变化情况的反应程度，也可以说需求弹性是衡量需求量对价格变动的敏感程度。

3. 一元函数的导数在日常生活中的应用

在日常生活中，利用导数求最优化问题是我们经常遇到的。比如生产产品的利润最大、

生产的工作效率最高、费用最低等等，都属于最优化问题，我们都可以用导数来解决，主要有以四个步骤。第一：深入理解所给问题，务必搞清楚哪些条件是直接已知的，哪些条件是间接已知的，哪些是未知的，我们现在需要解决什么问题；第二：将我们需要求最值变量设为目标变量，把影响目标变量的因素变量设为自变量，并用适当的字母来表示这些变量；建立相应的数学模型，即目标函数，然后确定目标函数的定义域。第三：将目标函数求导，并根据定义域，确定极值的可疑点，即驻点与不可导点。第四：计算函数在定义域的端点、及定义域内的极值可疑点的函数值并进行比较，从而获得所需的最值。再根据具体的实际问题给出最优解。