圆锥曲线中直线过定点问题的一点研究

邱水金

在平面解析几何中和历年的高考中，直线与圆锥曲线相结合的问题是非常重要而且又比较复杂的类型题，其中有一类问题是圆锥曲线背景下求直线过一定点，从近几年全国1卷来看，这种类型题是重点题型，2017年和2020年的全国高考都考到这个知识点，对于这一类问题如何去入手呢？它们的通解通法是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。

既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点 的直线系方程可以写成的 ，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。而另外一种思路就是设直线为 ，接着找出 与 的关系，从而代回原式子又变成直线系问题，下面通过具体例子来说明。

例1．过椭圆 的左顶点A作互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点.求证：直线MN过定点，

并求出该定点坐标．

分析：本题的本质是直线过定点问题，方法一：本题的关键点是A点做两条直线，所以我们从A点做两条直线，因为互相垂直所以可以用一个未知数来表示两条直线方程，从而写出直线系方程；方法二：设直线的方程为 ，利用关系找出接着找出 与 的关系，从而得到直线恒成立问题；

解：方法一：设直线 ，则直线

，所以点 ，同理 , 直线

令 ，得 所以直线 过定点 ；

方法二：设 ， ,直线

，则 且

由 得 ，化简得

，化简得 ，因为 ，

所以 ，解得 或 （舍）直线

所以直线 过定点 ；

小结:方法一和方法二采用不同的直线参数表示直线，归根到底就是直线系方程，本质是一样的，都是用直线的参数表示方程的不同形式，然后表示成直线的点斜式恒成立问题，通过观察就可以看出直线过的定点，若所得的参数方程比较复杂可以化成两个直线相加的形式，再求两条直线的交点，这个交点就是直线系横过的定点。

其实关于从圆锥曲线上一点引两条互相垂直的射线问题有如下结论：

结论：若为椭圆上一点, 、为两个动弦，且，若则过定点。

证明：因为 在椭圆上，所以 ，平移坐标系，将原点移至 ，则在新的坐标系中，椭圆的方程为 ，即 ①，设直线 ，即 ②，将②代入①得 ③

因为 ， 的坐标既适合方程①，又适合方程②，又原点也适合方程③，方程③式一个齐次二次方程，它表示直线、 的合成方程，因为直线 、 垂直，所以 的系数和为零，于是 ④，即 ⑤

，所以直线可以化成为

所以在新坐标系中直线 经过定点 ，

回到原来的坐标系直线 经过定点 ，证毕。

例2. （2017年全国1卷高考题）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆 上．（1）求 的方程；（2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明： 过定点．

解:（1）由于 ， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过 ， 两点.又由 知，C不经过点P₁，所以点P₂在C上.因此 ，解得 .故C的方程为 .

（2）设直线P₂A与直线P₂B的斜率分别为k₁，k₂，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知 ，且 ，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， ）.

则 ，得 ，不符合题设.

从而可设l： （ ）.将 代入 得

由题设可知_.

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= ，x₁x₂= .

而 .

由题设 ，故 .

即 .解得 .

当且仅当 时， ，欲使l： ，即 ，所以l过定点（2， ）

小结:从这道2017年的高考题可以看出，关于直线过定点问题都有这样一个通解通法，求直线过定点问题的通解通法的步骤如下：第一步：求哪一条直线过定点就设直线为 ，第二步：利用题目给的条件找出 的关系；第三步：把 的关系式子代回直线方程 ，变成了一个参数的直线系方程，观察得出直线过的定点。

主要参考文献

[1]. 陈静 圆锥曲线中定点问题的常见方法. 《数学教学与研究》

[2]. 金烨 基于培养学生数学核心素养的课例研究 《数学之友》

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