关于二重积分计算的新思路探讨

吴春阳

摘要：伴随数学发展的不断深入，教师和学生都认识到二重积分计算的重要性。传统的计算也日渐普及，能够使用更加简单的方式来计算二重积分，也成为数学学习的一种必要。因此，在微积分的教育教学过程中，能够从传统的教育教学方式开始，逐渐了解到二重积分的计算方式，还能够从中探讨新的思路，更好地运用数学工具，对二重积分计算方式深入探讨，提升学生学习的积极性，科创性，有更好的效果和意义。

关键词： 二重积分；等幂等积定理；思考研究

在微积分这门课中，在学习二重积分的计算的学习过程中，我们教师以及学生都能够充分理解到，二重积分计算的重要性。为了课堂教学在几何图形上，更加便于理解，充分使用曾经学过的知识，我们在课堂教学的基础上，在计算二重积分的时候，一起探讨和研究二重积分计算的新思路，也成为课堂教育教学的一种需要。

为了便于二重积分计算的新思路的探究，我们给予一下定理：

等幂等积定理：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等。

假定 ,设积分区域 为 ， （如图所示）

二重积分 的值就等于以 为底，以曲面 为顶的曲顶柱体（如图所示）

先计算截面面积，在区间 上任取一点 ，作平行于 平面的平面 ，这个平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间 为底，曲线 为曲边的曲边梯形，所以截面面积为：

.

所以过区间 上任一点 且平行于 平面的平面截曲顶柱体所得的截面面积为：

.

即可得到曲顶柱体的体积为：

.

也就是二重积分求体积的值：

.

， ， 都连续，所以 也是连续的。

以上是我们教师和学生在课堂上一起学习二重积分计算的主要思路和步骤。对于二重积分来说，作为微积分教育教学过程中的重要内容之一，能够帮助学生掌握好微积分基础知识体系中的重要内容，同时也可以提高学生对基础知识的理解。通过有效的讲述，能够帮助学生掌握好二重积分的计算方式，而后给出具体的案列，通过直接的类比，启发，加以训练和指导，来帮助学生更好地掌握二重积分的计算方式。在此基础上，和学生一起，在课堂上探讨二重积分计算的新思路，将能更好的启发学生，激发学生的积极性，创造性。

新思路如下：

根据等幂等积定理作图，依然取 三维直角坐标系， ，以 轴为圆心轴，在 处作圆，面积为 ，使得圆的面积 ，圆心为 ，半径为 。 所以所以类似可得：

过区间 上任一点 ，平行于 平面的圆，圆心为 ，半径为 ，面积为 ，使得面积 .

由于 ， ， 都连续， 也是连续的，所以可得：

在 三维直角坐标系中， ，不规则圆柱体的截面的面积 是连续的，半径为 也为连续的.

从而在 三维直角坐标系中，得到一个不规则圆柱体，所得的不规则圆柱体与曲顶柱体等高，且被同一个截面所截的两个不同的截面的面积相等，根据等幂等积定理，所得到的这个不规则圆柱体的体积等于曲顶柱体的体积。

所得的不规则圆柱体，也就是将一个个截面进行叠加累积而成。只需要将所得的不规则圆柱体的体积求出，即可得到曲顶柱体的体积.

在微积分课程教育教学过程中，特别是二重积分的计算这一节里，能够做好教学研究工作，帮助学生很好的掌握二重积分的计算，同时也能够不断的实践和研究，开拓新的思路，启发学生，也激励我们老师，在熟知的领域里，不仅更好地掌握基础知识，更能够创新新的研究方法，对我们在数学的领域里的研究与探讨，有着更好的意义或者成效。

参考文献：

1. 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2010：223-260.

2. 同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2007:200-260.

3. 刘倩，鲁志波，郑治中. 关于重积分计算的在理解[J]. 高等数学研究，2019,22（2）：30-32.

4. 李丽红，施泱. 运用微元法简化多元积分计算[J]. 高等数学研究，2019,22（2）：39-41.

5. 陈丹丹. 简化积分计算的一类方法[J]. 赤峰学院学报：自然科学版，2018,34（8）：14-16.