《圆的方程》中直观想象素养的培育

李露

摘要：学科核心素养的培育是学科立德树人的中心工作，依据学生学习的不同内容，侧重于培育学生某一方面的素养。以《圆的方程》为例，从知识探究、知识运用两个方面着力培养学生的直观想象素养。

关键词：圆的方程；直观想象；培育素养

中图分类号：G661.8文献标识码：A文章编号：ISSN1005-4197（2019）05-0079-01

高中数学学科立德树人，就是要引导学生学会运用数学思想分析问题、运用数学知识解决问题，注重培养学生的数学学科核心素养，发展学生的数学素质。我们不可能在一节课里面面俱到培养学生的各种核心素养，但是我们可以依据学生学习的内容侧重于某个方面素养的培育。学生学习《圆的方程》内容时，很适合培育学生直观想象的素养。

1、直观想象对于《圆的方程》知识探究的意义

直观想象可以借助几何图形认识事物的位置关系，构建形与数的联系，分析事物形态变化与运动的规律；探究数学知识。

1.1利用直观图形探究《圆的方程》基础知识

建构直观图形，借助模型掌握基本知识。一是指导学生使用圆规在自己的作业本上，画一个圆，固定一定点，用圆规画出到定点等距离的图形，学生就能够理解圆的定义及圆的基本要素是圆心和半径。二是引导学生在自己作业本上建立平面直角坐标系，以原点为圆心，r个单位半径作图，研究轨迹的方程，要求学生利用初中平面几何圆的知识结合前面建构的圆的直观图形，在理解圆的定义的基础上，运用平面直角坐标系中两点间距离公式，得出原点为圆心的圆的方程为；三是同样的方法要求学生选择定点（2；3），半径2单位，作出轨迹。计算轨迹方程为(x－2)2+(y－3)2=22，在此基础上借助模型探究圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2。确定圆心为（a；b），半径为r。四是指导学生运用初中因式分解知识把(x－a)2+(y－b)2=r2的形式转换成x2+y2+Dx+Ey+F=0形式，就是圆的方程的一般式，依据一般式运用初中代数知识，把x2+y2+Dx+Ey+F=0变成标准式，如果满足充要条件D2＋E2－4F＞0，就会得出圆心坐标为－D2，－E2，圆的半径为半径r＝12。要求学生运用直观图形，比较平面坐标系中、(x－a)2+(y－b)2=r2、x2+y2+Dx+Ey+F=0的图形，经过分析、归纳、思考，通过计算，探究形与数的关系；理解掌握圆的方程基本知识。为进一步探究点与圆的位置关系奠定基础。

1.2运用直观图形探究点与圆的位置关系

直观想象素养要求学生能够借助直观图形建立形与数的联系；要求学生能够依据数学情境建立几何模型，利用建立的几何模型描述问题；要求学生能够借助几何直观、运用空间想象认识事物、理解问题。“圆的方程”中学生探究点与圆的位置关系时，是培养学生直观想象素养有利时机。要求学生在平面直角坐标系中建立(x－2)2+(y－3)2=42几何模型，分析点A（7;8）、B(3;5)、C(6;3)与圆的位置关系，并归纳点与圆的位置关系，圆外、圆上、圆内。引导学生确定圆心是D（2；3）、半径是4。运用两点间距离公式确定AD、BD、CD之间的距离，并与半径4比较大小，然后由个别到一般；得出结论：平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2圆心之间的距离为d,存在以下三种情况：如果d＞r，即(x0－a)2+(y0－b)2＞r2，则M点在圆外；如果(x0－a)2+(y0－b)2＝r2，则M点在圆上；如果(x0－a)2+(y0－b)2＜r2，则M点在圆内。

2.直观想象助力利用圆的知识解决实际问题

高中数学教学过程中，教师应该创设数学情境，积极引导学生借助几何直观认识事物形态及其变化，树立几何直观思考问题的意识，指导学生理解数学情境，建立数学问题的直观模型，利用直观模型理解和解决数学实际问题，发展学生几何直观和空间想象的能力，提升学生数形结合的数学素养。

利用几何直观运用圆的知识求解最值问题。依据实际数学情境，建立几何直观数学模型，分析模型、思考解决问题的路径；借助模型，运用数学原理进行数学计算，解决问题。如：实数满足方程,求的最大值与最小值。依据提供的数学情境，建立平面直角坐标系，建立方程圆，在圆上选取任意一点；要解决问题，就要分析的几何意义，借助几何直观图形分析，学生就会发现的几何意义是直线的斜率；设,则直线的方程为；当直线与圆相切时，斜率取最值。运用点到直线距离原理，就能够解决问题。探究“形如形式”最值问题的解决路径,就是把需要解决的问题可转化为动直线斜率的最值问题。

利用空间想象运用圆的知识解决问题。直观想象的素养需要培养学生利用空间想象认识事物及其变化。高中数学中常用的培养方法是空间图形的平面化，作空间图形的直观图，然后根据平面模型进行空间的直观想象。

如平面与平面相互垂直,是两面相交线上的两个定点,在平面上有一个动点，使,求四棱锥的最大体积。

这个问题的解决思路需要学生把空间图形转换成平面图形，依据平面图形空间想象。以两面相交线上两点所在直线为轴，平面内垂直于两点所在直线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，即，则圆心，半径，动点到两点所在直线最大距离是4，四边形ABCD面积是定值，四棱锥锥的最大体积问题就可以得到解决。

直观想象素养主要是学生能够借助几何图形，建构直观或者空间模型，运用数学知识，分析问题解决思路，运用数学解决实际问题。这种素养的形成过程推动学生用数学思维思考问题，是学生适应现代社会发展需要的基本素养。