论圆周运动及向心力问题

王尚昉

王尚昉河南省东风技工学校

我们知道，在技工学校物理教材里，物体沿圆周运动是一种常见的曲线运动，日常生活里也比较常见，转动的电风扇叶、转动的表针等。大的方面说，地球在近似圆形的轨道上绕太阳运行，人造卫星绕地球运转等都是圆周运动。

许多有关质点作圆周运动的问题中，常见到对于质点在竖直平面内作圆周运动的问题，讨论的只是它在轨道的最高点或最低点处的有关情况。对圆周的其它位置处的情况为什么不作研究？这关系到质点在竖直平面内作圆周运动是否匀速圆周运动的问题。

问题还要从匀速圆周运动谈起。作圆周运动的质点，在任何相等的时间内通过的弧长都相等，才是匀速圆周运动，在匀速圆

周运动中，向心加速度，有恒定的大小，任何时刻的瞬时

速度都垂直于该时刻的向心加速度an，我们讨论的圆周运动都视为匀速圆周运动，如人造地球卫星绕地球的运动，火车转弯时的运动、杂技演员表演的“水流星”、飞机在天空中俯冲运动等都视为匀速圆周运动。

为彻底搞懂弄清圆周运动，我们更进一步去研究如果质点作圆周运动的速率是随时间改变的这就是变速圆周运动。

质点作圆周运动，但不匀速，那么它的加速度的方向如何？是不是向心的？如果加速度的方向不是向心的，不指向同一个曲率中心——圆心，为什么能作圆周运动？如果加速度的方向是指向圆心的，为什么又在切线方向上改变质点运动的速率？这是由于质点作变速圆周运动时，其加速度a的方向介于法向——沿半径指向圆心和切线方向之间，因而在切向和法向都有分量。

对竖直平面内的质点作圆周运动，如图1：一轻绳长L，一端系一重物，质量为m，手持另一端o，以o为圆心，以L为半径，在竖直平面内作圆周运动。当质点m位于圆周上P点时，p⊥oP，这时作用于质点m的力有重力mg和绳的拉力T，其合力F决定的加速度的方向也总是介于切向和法向之间，和的夹角φ一般不等于0º或90º。在质点沿圆弧上升的半周内，φ为钝角，at′与v′反方向，质点减速（如图2），在质点沿圆弧下降的半周内，φ为锐角，at与v同方向，质点作加速度运动。唯有在圆周的最高点、最低点，at瞬时为零，而加速度a的方向是沿半径指向圆心的。这样看来质点在竖直平面内的圆周运动就不可能是匀速圆周运动，而是变速圆周运动。当然，对此不过多要求，在此只是进一步探讨。

那么，向心力又是一个什么概念呢？向心力是圆周运动的一个基本概念，两者互相依存，不可分割。

一、有关向心力的基本概念

在引入向心力概念时最好从具体问题谈起。例如，树上的苹果熟了以后，因受到地球吸引力而落到地面上；而围绕地球运动的月球同样要受到地球吸引力的作用，为什么月球没有被吸到地球上呢？下面以此来分析向心力的物理意义。从树上掉下来的苹果在地球引力作用下（重力作用下），做的是初速度为零的匀加速直线运动，在此运动过程中，重力的作用是使物体运动速度的大小发生变化，速度方向没有改变。苹果运动方向和受力方向一致。月球围绕地球的运动过程中，月球的运动方向和引力方向不一致，地球的吸引力总是垂直轨道而沿着半径指向圆心。此时它的作用是使月球运动速度方向不断发生变化，从而使月球作圆周运动。因此，不能把月球像吸引苹果似的拉到地球上来。同样是地球的吸引力，在直线运动中和圆周运动中的作用不一样，因圆周运动中使速度方向发生变化的力总是沿着半径指向圆心，所以称为向心力，并把因向心力而产生的加速度叫向心加速度。在上述月球绕地球的运动中，地球对月球的吸引力就是向心力。可见向心力只能由某个力或某几个力的合力来充当，并不是特殊的力。

为了巩固以上概念，我们再分析两个问题：

1．当我们在平直的马路上骑车作直线运动时，身体和车身不能向左右倾斜；当转弯时，我们为什么总是将身体倾向转弯的一边？如果在平直的马路上身体向左右两边倾斜，或是转弯时身体不倾向转弯的一边（尤其是速度快、转弯半径小时），又会怎么样？

2．自行车转弯可以依靠人体的倾斜来获得向心力，如果汽车在水平的马路上转弯，向心力又依靠谁来提供呢？

通过对以上问题的分析，可以得出如下结论：

（1）运动中向心力的作用是使物体运动速度的方向发生变化，因此，向心力的存在是物体作圆周运动必不可少的条件。

（2）向心力可以是由某一种力，如场力、弹力、摩擦力或几个力的合力来充当，它不是一种特殊形式的力。

二、关于向心力计算问题

初步掌握向心力的概念后，如何应用它是关键点。向心力的计算实际上是牛顿第二定律的计算问题。在进行向心力计算时，关键是要分析清作圆周运动的物体受力情况。在物体受力的作用力中，可能有以下三种情况：

1．力的方向垂直于轨道，并沿着半径方向。不管这些力是指向圆心或不指向圆心，都是向心力的直接来源。

2．力的方向垂直于轨道半径。这些力对向心力没有贡献，其作用只是改变速度的大小，不会改变速度的方向。

3．力的方向既不沿着轨道半径，也不垂直于轨道半径。

那么，要把这样的力进行分解，一是分解到沿着轨道半径的方向上，二是分解到垂直于轨道半径上。沿着轨道半径的方向所有力的合力就是向心力，而垂直于半径方向的合力是F切＝ma初，a初表示切线方向上加速度，它描述的是圆周运动中速度大小变化的快慢。我们不要求学生计算。作为一个特例，在匀速圆周运动中速度大小不变，F切为零，向心力也就是作用在物体上所有力的合力。

例如：图3所示，重2吨的汽车用21.6公里/小时的速度匀速从左边驶上一拱桥，若桥弯曲半径是50米，汽车受的阻力为车重的0.01倍，求：①车在最高点A时桥受的压力？此时汽车的牵引力是多大？②汽车位于B点时（AB所对应的圆心角α＝30º）桥受的压力是多少？汽车牵引力又是多少？解：已知：m＝2000千克，V=6米/秒，R＝50米，f＝196牛顿。

（1）汽车在最高点A时（图4），沿轨道半径方向受重力的作用，方向与向心加速度a向相同，同时还有桥的支持力N作用，方向与向心加速度方向相反。由于汽车此时在半径方向只有mg和N作用，两力合力为向心力，由F向＝ma向，则mg－N＝ma向，

∴N＝m（g－a向），而，∴N＝mg－＝18160牛顿，

由牛顿第三定律知，桥受的压力大小与N相同，在与轨道半径垂直的方向上，汽车受牵引力F与f的作用，汽车作匀速圆周运动，a切＝0，即：F－f＝0，F＝f＝196牛顿。

（2）汽车位于B点时，汽车受

力如图5，mg不和半径垂直，也不

在一直线上，将其分解为G1和G2，

且G1＝mgcosα，G2＝mgsinα，G1与

a向方向相同，N与a向相反，有G1

－N＝ma，∴N＝G1－ma＝mgcos30º

－＝15534.1牛顿，即为汽车对桥的压力，在与轨道垂直的

方向上共有三部分力：G2、F、f，因汽车匀速圆周运动，所以切线方向合力为零，即F－G2－f＝0。

∴牵引力F＝G2＋f＝9996牛顿。

通过对以上问题探讨，研究圆周运动的有关问题时，需要分析运动物体的受力情况，弄清楚使物体作圆周运动的向心力，才能抓着解决问题的关键。