浅谈一类直线与圆锥曲线相交问题的解法

杜倩倩

直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何的主要研究对象，所用到的知识点较多，综合性强。这里介绍一类直线与圆锥曲线相交问题的处理方法。

例1：已知椭圆C中心在坐标原点，与双曲线x2-3y2＝1有相同的焦点，直线y＝x+1与椭圆C相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求椭圆C的方程。

分析：本题是有关“直线与椭圆的交点”问题，一般方法是将直线方程代入到椭圆方程，消元得x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理和已知条件（本题是OP⊥OQ），结合椭圆C与双曲线的焦点之间的关系求出椭圆方程，这是解决有关直线与圆锥曲线相交问题的基本方法，应注意掌握。

上述方法中利用了条件，由此可以看出，若能够构造相应的一元二次方程，使其两根为y₁/x₁与y₂/x₂就可以了，这就要利用椭圆C与直线y＝x+1得到相应的关于■的一元二次方程。

上述解法2利用了条件OP⊥OQ，构造了关于y/x的一元二次方程，由韦达定理求得椭圆C方程中的参数b2，较解法1简单，这不失为解决一类垂直问题的方法，但只能用于椭圆与双曲线，对于抛物线不能得到相应的二次齐次式。

从上述两种解法中，我们可以看到在解决直线与圆锥曲线相交问题时，不一定要求出它们的交点，就可以解决有关弦长，弦中点及直线与圆锥曲线中有关参数，其中的关键是由直线方程和圆锥曲线方程得出相应的一元二次方程，并利用韦达定理或判别式，由此获得问题的解决。

例2：设G、M分别是△ＡＢＣ的重心和外心，Ａ（０，－a），Ｂ（０，a）（a>0），且，（1）求点C的轨迹方程；（2）是否存在直线m，使m过点（a，0）并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且OP·OQ=0？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由。

分析：直线和圆锥曲线的相交问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围。

对于这类问题要注意两点：①它是解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断；②直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题。