浅谈函数问题的解题策略

王文新

函数是中学数学中的重要内容，高中数学大部分章节都涉及函数或者函数思想方法，其理论和应用涉及数学的各个分支。所以说函数是中学数学的一条主线。单从知识点在课本中的体现角度来看差不多整个高中所学的内容有一半的与函数知识紧紧地联系在一起，所以地位极其重要。

函数是中学数学最重要的基本概念之一，函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。

再从高考的试题来分析高考大题（解答题）基本上是函数内容，没有学好、学透函数的性质可以说相当于没有读高中数学，也就是说在高考中不可能取得好成绩。在综合题型中最能体现函数这一块知识内容，解析几何的题例直线与曲线是经典一元二次函数的问题，算法中同样也有函数问题。

总之，函数知识贯穿整个高中数学内容，在每一块知识领域中都有函数的存在，函数无处不在，没有函数就不是数学，函数是数学的核心。

正是因为函数的重要性、应用的广泛性，下面就个人在长期教学中的一些体会谈谈函数问题的一些解题策略。

一、定义域优先策略

函数定义域是研究函数性质的基础，是函数成立的先决条件。

三、变量常量互化策略

变量与常量是相对的，有时把看似常量的量看作变量，把变量看作常量，即通过变换主元，有时做题时会收到柳暗花明又一村的效果。

四、分类讨论策略

分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

高中数学中在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决。

高中数学中常见的分类讨论题型：1.类二次函数、类一次函数系数是否为零；2.解不等式根的大小的讨论；3.解绝对值问题零点讨论；4.二次函数最值根据轴与区间位置关系的讨论；5.指、对函数底数与1大小的讨论；6.含参数的问题，对不同参数的取值的讨论；7.数列公比是否为1的讨论。仅举几例以作说明

例4.已知二次函数f（x）=2x2-4（a-1）x-a2+2a+9。

若对任意m∈[-1，1]，都有f（m）>0，求实数a的取值范围。

分析：二次函数最值根据轴与区间位置关系的讨论是一种重要题型。

解：f（x）=2x2-4（a-1）x-a2+2a+9的对称轴x=a-1。

当a-1<-1时，即a<0时f（x）min=f（-1）=-a2+6a+7>0（-1<a<0，

当-1≤a-1≤1时，即0≤a≤2时，f（x）min=f（a-1）=-3a2+6a+7>00≤a≤2，

当a-1>1时，即a>2时，f（x）min=f（1）=-a2+2a-15>02<a<3。

综上-1<a<3。

数学中还有其他一些策略如对称转化策略-x换|x|，x，等。总之学习中我们要灵活掌握各方面知识，准确掌握、熟练应用各种策略，相信我们的解题能力及应用知识的能力定会进一步加强，同学们一定会走入一片更开阔的天地。