构造模型动态探究迁移联想

李玉兰

摘要：在理解数学模型的基础上，教师可以尝试通过动态探究，引导学生主动积极地思考，增强相关知识的迁移能力。

关键词：构造模型；动态探究；迁移联想

作者简介：李玉兰，任教于江苏省太仓市第一中学，中学一级教师。2006年被评为太仓市“优秀班主任”、“家校联系先进个人”；2007年指导学生潘飞，徐逸彬分别获得“江苏省初中数学竞赛一等奖，三等奖”；2008年在太仓市“数学青年教师优质课评比”获得二等奖。2009年获得太仓市“教学能手”、“指导学生自学先进教师”；2010年获得太仓市“师德标兵”称号。

数学模型实质是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构，识别及应用基本模型的过程，也就是用统一的基本模型沟通相关问题，有效促进解题过程的思维定势正向迁移，化陌生为熟悉，化非常规为常规的化归过程。在理解数学模型的基础上，教师可以尝试通过变换问题情境，动态探究，引导学生主动积极地思考，在提出新问题和解决问题的过程中引导学生深刻感受数学、认知数学，从而建立起自己的数学知识体系，增强相关知识的迁移能力，加深对数学知识的理解，通过题组的变式训练，让学生理解掌握从特殊到一般、动态变化等数学思想，提高数学思维能力。

一、原题模型

问题：如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：△AGE≌△ECF。

分析：在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，∠AEF=90o得∠AEB+∠FEC=90o，易得∠BAE=∠FEC；

∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，

∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o，

又∵CF是∠DCH的平分线，可计算出∠ECF=90o+45o=135o，根据角边角证得△AGE≌△ECF。

点评：这是一道典型的以正方形为问题背景，考查全等三角形知识的试题，旨在体现低起点，让所有的学生都能参与课堂，激发学生自主探究问题的兴趣。如果由此题为背景进行再创造，可以变换出一系列新问题，较好地考查学生的数学知识和技能。因此，教师在教学设计中应该较好地把握学习目标与之相对应教学内容的选择。

二、依据模型，立足学生最近发展区，拓展原图的应用价值

问题：(1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN。

下面给出一种证明的思路，学生可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明。

分析：在边AB上截取AE=MC，连ME，正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°-∠AMN?-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE。

∵AE=M∴BE=BM，∴∠BEM=∠EMB=45°，∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，计算出∠AEM=∠MCN=135°，易证△AEM≌△MCN，∴AM=MN。

点评：引导学生善于把数学问题转化，化陌生为熟悉，善于总结，抽取共同的、本质的，构造全等三角形进行梳理，形成知识网络，概括寻求三角形全等的经验，达到以一挡十的目的。

三、将正方形转化为三角形，探讨三角形全等的条件与性质

问题：(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分

线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由。

分析：(2)仍然成立。在边AB上截取AE=MC，连接ME，证明∠BEM=∠EMB=60°，计算出∠PCN=60°，∴∠AEM=∠MCN=120°，∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM，∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN。

点评：将正方形中的结论和思考的方法移植到三角形中，加深对问题(1)的思考，问题情境变化，但思维方法不变，在边AB上截取AE=MC，连接ME的方法构造全等三角形证明。教师变换题型，它既能对有关知识侧重训练，又能活跃思维、强化思想方法的掌握，还能考察学生的思辨性思维。教师应该引导学生注重解后反思，提倡让学生自主反思思维的过程与解题的过程，较好地实现学习不只重视解题结果更关注学生的思维锻炼与能力的提升。

四、将正方形转化为正n边形，迁移思考方法

问题：(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……”，请你做出猜想：当∠

AMN=°时，结论AM=MN仍然成立。(直接写出答案，不需要证明)

解答：(3)

点评：经历再发现的过程，深层次地理解和掌握数学思想和方法，所探讨的问题(3)的深度有一定的拓展性,所求的角就是正边形的一个内角，凸现了数学的本质，引导学生掌握一类题的解法即“解题通法”，它有一定的系统性、针对性，有明确的考查目标和培养方向，有利于多方面地促使学生对知识本质的认识，有利于对各种数学思想方法的熟练掌握，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性，本题对学生的思维要求高，更有选拔性。

五、变化题设，寻规律，再探究

问题:(1)如图(1)、图(2)、图(3)，在△ABC中，分别以AB、AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE、CD相交于点O。

如图(1)，求证：△ABE≌△ADC。

分析：题中△ABD与△ACE均为等边三角形，容易得出AD=AB，AC=AE，对应全等条件找边，或夹角，可由∠DAB=∠EAC=60°转换得出∠DAC=∠BAE来证。(证法略)

点评：反思知识类比点，搭建一个自主探究、学习的平台，以三角形全等为主线，引导学生在复杂的背景中寻求出两个三角形全等的共性。教师在教学过程中采用变换题设、形成链状的变式题组的策略，变换问题提问的角度，较好地复习了三角形全等的知识，实现了以最少的题量复习重要的知识技能与方法的要求，达到事半功倍的效果。它不仅使相关的知识(包括方法和技能)自然、顺畅、扎实地联系起来，同时还使知识得到深化和发展，恰到好处地体现了有效教学。

六、剖析图形特点，寻求规律

探究：如图(1)，∠BOC＝____°；如图(2)，∠BOC＝____°．如图(3)，∠BOC＝___°解答：120°，90°，72°

点评：分析、观察图形特点，注重图形的内涵与拓展，改变问题的呈现方式，突出对数学思维的考查，所求的角是正边形的一个外角，引导学会识图分析，总结出解题的一般思路和规律。

七、大胆猜想，合理论证

(2)如图(4)，已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边。BE、CD的延长线相交于点O。①猜想：如图(4)，∠BOC＝______°（用含n的式子表示）；②根据图(4)证明你的猜想。(证法略)

点评：本题的变换拓展要求学生运用数学的直觉思维进行猜想，灵活运用数学思想方法分析问题、探索创新、找到事物的内在联系，通过三角形全等转化所求角的数量关系，最后严格论证猜想的正确性。难能可贵的是通过对一题多解的多种方法比较，横向对比所应用的知识点，领略方案的简洁美，可以培养学生思维由单一比较转向多元化。

教师应时刻关注一题多解，在师生、生生交流中，让学生的思想火花、创新思维得以碰撞、融合。同一个问题从不同的角度入手，寻找不同的解题途径。它能活跃学生的思维方式，培养学生灵活运用所学知识从不同角度观察、分析、解决问题能力，有利于知识、方法的融合贯通。因而，它是形成创新意识、创新能力的源泉。

对于解题，波利亚曾说过：“解题的成功，要靠正确的转化，解决问题的过程是创造性的思维活动过程，最重要的特点是思维的变通性和流畅性。”教师在数学教学过程中要正确理解典型试题的示范性和迁移性，理解隐含在其中的数学思想和方法，深入研究，充分挖掘它的应用价值，让学生在体验解题的过程中不断地积累数学思考经验，提高数学思维能力，合理利用数学模型更好地为我们的教学服务。

作者单位：江苏省太仓市第一中学

邮政编码：215400

ConstructingModels&DynamicExploration&AssociativeTransfer

LIYulan

Abstract:Onthebasisofunderstandingmathematicsmodels,teacherscantrytoleadstudentstoactivelythinkbydynamicexploration,soastoincreasetransferringabilityofcorrespondingknowledge.

Keywords:constructingmodels;dynamicexploration;associativetransfer