三角函数中的数学思想

王玉玺谢新文马强

三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。下面谈谈这些具体的数学思想和方法：

一、数形结合思想

数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。

例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。

分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。

评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。

二、分类讨论思想

数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。

点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。

三、函数思想

函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。

点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。一般的，若y=f（x）是单调函数，则f（x1）=f（x2）x1=x2。

四、方程思想

方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。

五、转化与化归的思想

在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题通过转化或变换，最终达到解决问题的一种数学思想，称之为转化与化归思想。

六、整体思想

整体思想是指从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。注意这种思想的灵活应用，常可使许多常规解法较繁的问题得到非常简洁合理的解决。

点评：本题若要希望从已知条件求出sinα、cosα、sinβ、cosβ，则解题过程十分复杂，因此，解决此类问题应优先考虑“已知角”与“未知角”的关系，实施整体变换，然后再选用适当的公式进行化简、求值、证明。