有限制条件的排列问题

杨梅

教学目的：使学生熟练掌握有限条件的排问题的三种最基本最常见的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法．还要会根据给定问题的特征，掌握一些“精巧”的解法：如对称法、捆绑法、插空法等．

问题1：已知0,1,2,3,4,5六个数，这6个数可以组成多少个没有重复数字的三位数？

设计意图：从这简单的有限制条件（“0”不能排在百位上）的排列问题入手，在引导学生分析解决这个问题的过程中，重在“提炼”解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常见的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法．

第（1）小题后接着问：可以组成多少个关于y轴对称的二次函数？可以组成多少个不同的函数（把“二次函数”拓展为“函数”）？第（2）小题后接着问：可以组成多少个圆心在x轴上的圆的方程．

设计意图：给出这两道小题的目的在于培养学生对知识的迁移能力，通过对解题后的反思，让学生领悟数学问题的背景可以千变万化，而其中运用数学思想方法却往往是相通的．注重问题的类比，才能达到举一反三、由例及类、解一题通一片的目的．

为了帮助学生去发掘这个问题的各个方面，使得通过这道题，把学生引入一个完整的理论领域．于是又提出一个思考题：

思考：在这6个数组成的没有重复数字的三位数中

（1）奇数有多少个？

（2）能被5整除的数有多少个？

（3）大于235的数有多少个？

（4）如果将所有这样的三位数从小到大排列，你能找出第21项吗？

设计意图：“用同一个问题做不同的事情”，在提高题目利用率的同时．也能帮助学生真正理解和灵活运用知识．

问题2六人按要求排成一排，分别有多少种不同的排法？

（1）甲排在左端；

（2）甲不排在左端；

（3）甲不排在左端，乙不排在右端．

设计意图：这三个小题难度的设置上体现了一定的层次性，通过对三个小题的分析，让学生再次体会解决有限制条件的排列问题的三种最基本最常用的方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接法．

对有限制条件排列的排列问题，学生必须熟练掌握上面介绍的三种最基本最常用的方法．此外，就排列知识的学习而言，还要会根据给定问题的特征，掌握一些“精巧的解法：如对称法、捆绑法、插空法等．于是又向学生提出：若按以下要求排，则又如何？

（4）甲在乙的右边（可以不相邻）

（5）甲、乙相邻；

（6）甲、乙不相邻．

为了及时反馈学生学习情况，加深对此类方法的理解与掌握，对问题2进行拓展，提出两个问题让学生思考：

思考1：如果甲、乙、丙必须排在一起，可以有多少种不同的排法？如果甲、乙、丙必须全分开，可有多少种不同的排法？如果甲、乙、丙必须全分开，并且甲、乙、丙三人不能有人排在左端，可有多少种不同的排法？

设计意图：从“甲、乙相邻”延拓到“甲、乙、丙全排在一起”，从“甲、乙、丙不相邻”延拓到“甲、乙、丙必须全分开”，通过对问题的求解，让学生深刻体会“捆绑法”和“插空法”对解决这类排列问题的“有效”和“便捷”．在“甲、乙、丙必须全分开”的基础上再增加“甲、乙、丙三人不能有人在左端”这一条件，旨在让学生对“空”的数量进行准确判断和把握，完善对“插空法”这一知识的建构．

思考2：如果6个人按照某一顺序排好后，要再插入三个人，则不同插法的种数为：（）

A．AB.AC.AD.789

设计意图：由于学生已学“插空法”，此题设计是以学生现有认识和发展水平为出发点，以“最近发展区为定向”．

为充分挖掘问题2的教学价值，从另外一个角度对其进行了再次拓展，提出一个新问题供学生思考：

思考：假如6个人要排成两排，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法有多少种？假如甲必须排在前排，那么不同的排法有多少种？甲必须排在前排，乙必须排在后排，那么不同的排法又有多少种？

设计意图：从“6个人排成一排”变成为“6个人排成两排”，让学生在求解的过程中鉴别两者内在的联系与区别．

小结：对有限制条件的排列问题，常有以下几种类型的思考方法：

类型1某些元素不能排或必须排在某一位置的问题

（1）先排特殊元素或特殊位置，然后再排其他元素或位置．

（2）先不考限制条件，求出所有的排列数，然后减去不符合条件的排列数，即间接法．

类型2某些元素要求相邻的问题，常用“捆绑法”（先正整体后局部）

类型3某些元素要求不相邻的问题，常用“插空法”

类型4某些排列问题还可以用“对称法”．