深挖教材，回归本质——再谈最短路径问题

李中元

最短路径问题是教学中的难点问题。对于这样的极值问题，首先，初学者对这种题型不熟悉，在分析时会感觉无从下手，从而导致教学活动中经常出现先机械模仿作法再被动分析原理的逆向学习模式。另外，关于最短路径的变式问题也很多，乃至有些资料上总结了不下十几种模型：“两定一动”、“两动一定”、“两定两动”、“三动”等等，太多的类型有些繁杂。为了突破这些难点，下面结合人教版八年级数学上册《13.4最短路径问题》的内容，以“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”为依据，从基本图形出发，回归知识本质，通过适当的几何变换“化折为直”，探究确定最短路径的有效方法，尤其要体会其中蕴含的化归思想。

一．从基本图形出发，依据基本事实，确定最短路径

在线段的和差作图时，我们通过在一条直线上依次截出已知线段，并使其首尾相接，达到线段求和的目的。通俗来讲，求线段的和就是把线段依次“接”在一起，并且要“接直”。所以，当我们在“折线”背景下分析最短路径（线段的和最小）问题时，关键是要将两条（或几条）线段通过合理的变换方式“化折为直”。通常情况下一条“折线”是由若干条线段依次连接而成，它有“端点”和“连接点”，例如：图1中“折线AC-CB”的端点是点A和点B,点C是连接点。其中，点A和点B是两个定点，而点C则是直线l上的一个动点，随着点C在直线l上的位置改变，当点A，C'，B三点依次共线时，根据“两点之间，线段最短”可知，此时AC+CB的和最小，最小值就等于线段AB的长度。我们把图1称为最短路径问题的“基本图形”，这是研究此类问题的基础，只要能把所求问题化归到基本图形中，问题就能迎刃而解。

二.从典型问题出发，运用几何变换，化为基本图形

先看教材中的问题1：

为了方便描述，我们将这个常见的问题定义为“牧马人饮马”的问题。经过分析不难发现，由于线段AC和BC在直线l的同侧，无论点C在直线l的什么位置上，都不能使点A，C，B三点依次共线，所以无法直接求出AC+BC和的最小值。“化未知为已知”是数学上分析问题和解决问题的常见方法，如果能将这个两条线段在直线同侧的情况转化为两条线段在直线异侧的情况，就回归到了前面的基本图形上。我们不妨设法将其中的一条线段变换到直线的另一侧，但最关键的是：无论点C在直线l的什么位置上，变换到另一侧的线段的长应该始终等于变换前的线段的长,即线段只能改变位置而不能改变相等的关系。这是教学中的难点所在，此时的教学引导至关重要，所以可以设问：哪种几何变换方式能满足上面的要求呢？联想到刚刚学过的轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，如图2所示：作出点B关于直线l的对称点B',再连接B'C，此时B'C=BC，问题就转化为两条线段在直线l异侧的情况了。至此，我们成功地将这个问题转化为基本图形中的问题，再根据“两点之间，线段最短”就能确定点C的位置，从而找出了最短路径。

再看教材中的问题2：

由于平行线a和b之间的距离（线段MN的长）是定值，所以当AM+BN最小时，AM+MN+NB最小。同样，求AM+BN的和时，需要将这两条线段“接”在一起。例如，通过变换线段AM，使变换后的线段与线段BN在点N处相接，但是无论点N在直线b的什么位置上，都得保证转变后的线段长始终等于线段AM的长。显然，将线段AM沿着MN的方向平移，使点M与点N重合就能满足要求，根据平移的性质可知，平移后的线段长就始终等于线段AM长了，这样问题也转变为最初的基本图形的问题了。

以上两个典型问题中，由于折线中的线段受位置的影响，都不能直接求和。经过与此前研究的基本图形对比发现，只要能够将折线“化折为直”，转化成基本图形，就能通过化未知为已知的方式解决问题，而转化的依据就是轴对称和平移的性质，它们都只是改变了线段的位置，而不改变线段转换前后的相等关系。

三．从已有经验出发，寻找知识关联，注重拓展提升

最短路径问题类型繁多，以不同的几何图形为背景，改变图形之间相对的位置关系，提出不同的问题等，都会衍生出不同的最短路径问题。但是，无论问题怎么改变，其知识本质是不变的。我们在分析问题的时候，可以从已有的知识经验出发，分析新旧问题之间的异同，然后通过合理的几何变换达到“化折为直”的目的，进而把一个陌生的问题转化成熟知的问题进行解决。

例如，图3的问题：

显然，这和“造桥选址问题”有着相似之处，都是当三条线段和的最小，且中间的线段长为定值时，求定值线段的端点位置。所以，我们在解决问题的时候首先要将两端长度变化的线段“接”在一起，本着“位置改变相等关系不变”的转换原则，可以将线段AC沿CD方向平移，使点C和点D重合，这时我们发现问题转变成了“牧马人饮马”的问题，于是，再通过轴对称的变换方式先确定出点D的位置，然后就能确定点C的位置了。

再如，图4，这个问题就是“牧马人饮马”问题的拓展题，虽然直线和线段的条数都增加了，但知识本质没变，所以其解题方法和策略也没有改变，只需要把直线同侧的线段变换到异侧即可。

四．从知识体系出发，抓住问题本质，合理解决问题

“两点之间，线段最短”是解决很多最短路径问题的基本依据，尤其在折线的端点不动的情况下应用广泛。如果折线的端点在某条直线上运动时，“垂线段最短”这一基本几何事实对于分析最短路径问题的作用就至关重要了。例如图5的问题：显然，这也是由“牧马人饮马”的问题抽象出来的一个数学问题，最大的变化就是折线的端点F的位置不确定，这也是问题的最大难点所在。我们不妨先假设这个端点F不动，连接点B的对称点C和点F，从而确定线段CF的长就是此时的最小值，接着再让点F在AB上动起来，根据“垂线段最短”，就得出当CF垂直AB时，BE+BF的和最小，最小值就是垂线段CF的长度。

总之，以上只是结合教材上提供的典型问题和学习中常见的习题对最短路径问题进行了分析与探究，还存在不够全面的地方。我们在平时的教学中还会遇到各种各样的最短路径问题，只有深挖教材，回归知识本质，在教学中认真贯彻和执行新课标的要求，以提升学生的数学核心素养为目标，积极落实“双减”政策，才能不断的总结和优化最短路径问题的解决方法和策略。

资料参考：人民教育出版社八年级数学教科书上册（2013年9月第1版）

          义务教育数学课程标准（2023年版）

          《同步轻松练习》八年级数学下册（2018年11月第1版）

辽宁省朝阳县第一初级中学  李中元  初中数学