抓住数学本质  深化概念内涵

杨丽

摘要：研究学生把握学科本质是数学教育永恒的主题。只有抓住数学本质，课堂才有生命力，才能促进学生的发展。否则表面再精彩的课堂也是昙花一现，失去了数学的原味。那么在数学概念课中，如何抓住概念的本质，让课堂更有生命力呢？

关键字：数学本质 概念 内涵

数学概念是抽象性与具体性的统一，反映了一类对象的本质属性；是构成抽象数学知识的“细胞”，是进行数学思维的第一要素；是发展逻辑推理和空间想象能力的犄角。那么如何上好数学概念课呢？下面结合集团校张老师所授人教版《平均数》一课谈谈自己的一些思考。

那么平均数到底研究的是什么？通过查阅资料得出：

平均数是个统计量，学生易学会用，但对其统计意义很难理解的数学概念。平均数的概念有两个要点：（1）它是代表一组数的整体水平。（2）它具有虚拟的特征。就知识的完整性而言，包含以下内容：概念蕴含着方法与应用；因为具有虚拟性，所以平均数的得到需要总数除以总份数或者移多补少；平均数代表整体水平，所以平均数可以用来比较两组数的水平，具有统计价值。平均数，从学生数感的发展而言，是对虚拟数的第一次理解。

看来，学生要正确、深入地理解和运用平均数并不容易。现行的教材也省去了概念的学习，倡导在具体情景中感悟，在应用与计算中理解概念。基于此张老师以学生的认知发展为依据准确把握平均数的内涵设计教学，上了一节很有数学味的课。

（一）创设情境，在“实在的数→虚拟的数”的数学学习活动中，让概念自然生长

概念课无论以什么方式引入，一要适合儿童的情趣，二要利于联系生活让学生建立起清晰的表象。张老师通过展示夹球比赛的实况，让学生直观感受统计的过程。再通过制造矛盾，引起学生的争议和思考：当人数不一样的时候，如何知道哪个队的水平高？促使学生主动思考，自然引出平均数。在收集数据中掌握了“实在的数”，在分析数据中初步感知“虚拟的数”。在这样的数学情境中，使学生发现生活中的平均数，为孩子找准学习“平均数”这一概念的契机。

（二）借助直观，使学生经历“感知→抽象→概括”的学习过程，建立平均数的概念

感知形象是为儿童打开学习数学大门的“金钥匙”。在概念引入的基础上，老师以足够的直观材料组织学生参与概念的形成过程，在感悟体验中主动探究概念的本质。

统计数据后，师提问引导学生用记录数据的小磁铁探究比较的方法。学生自然而然会“移多补少”，得出当人数不一样时，比较两队的平均数大小判断两队水平的高低。师追问：在移的过程中，什么不变？你认为平均数代表什么？引发学生深思，初步感受平均数在统计学中的价值。

润物细无声中强化了平均数的产生，加深了对平均数能刻画一组数据的整体水平的进一步直观理解，既渗透统计的基本思想，又让学生初步感知平均数的意义，为理解平均数所表示的均匀水平提供感性支撑。

（三）促成认知冲突，深化“平均数”概念的内涵

认知冲突会激起学生的思维振荡，引发学习需要，形成渴求获取问题解决办法的心理倾向。课中，张老师利用认知冲突，促进学生主动思考，探究“平均数”概念的内涵。

1、关键点引发冲突，感知平均数的必要性。

课中，当遇到两队人数不等无法用比总数的办法评胜负这个冲突时，学生通过探究得出三种办法，对于这个关键点，教师没有马上否定或肯定学生的答案，而是引导学生在争论中辩理，充分展示学生的思维，学生在思维碰撞中感受平均数产生的必要性，实现了对“平均数”概念的自我建构。

2、困惑处制造冲突，理解平均数的特点。

当学生提出疑惑“超出平均数的部分与不到平均数的部分为什么一样多？是巧合吗？”时，老师将学生的认知困惑结合统计图，引导联想移多补少的过程，让学生在对比观察中解开困惑，深化概念内涵。

（四）依托课堂练习，应用概念意义解决问题。

1、通过解决问题，巩固应用平均数的概念。

平均数作为统计与概率内容，不仅让学生学会求平均数，更要加强学生对数据分析观念的培养。在练习环节，老师将学习平均数放在完整的统计活动中，在描述数据、进行整体水平对比分析的过程中深化“平均数是一种统计量”的本质，实现从统计学的角度学习平均数。

案例：“阅阅的口算水平怎么样”？仅告诉总题数80道，很难判断阅阅做对68道的口算水平，需要学生去收集数据，当出示全班学生的分数时，发现这么多的分数，很难一下子判断阅阅的水平，需要对这些数据进行整理，在老师的帮助下，将数据整理成点子图，并分析点子的分布情况，估计平均数的位置，在此基础上，判断阅阅在班级中的口算水平，到此，平均数作为一种统计量的本质展示的淋漓尽致。

2、通过解决问题，渗透人文情怀和责任担当。

老师利用我国丰富的淡水资源总量和贫乏的人均水资源等数学信息，不仅运用了平均数的概念解决问题，而且渗透了人文情怀和责任担当，使学生体悟要关切人的生存和发展。

通过以上的分析我总结了以下四点数学概念教学的有效策略。

（一）以生活为背景——在情境中感知概念

苏霍姆林斯基说：“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识兴趣的重要条件。”现实情境是连接数学和生活的纽带，富有探索性的问题情境能激发学生的兴趣，引发学生产生疑问。所以教师要善于发现知识与生活实际的联系，为学生提供熟悉的生活情境，让学生亲自感悟情境中的问题，增加学生的直接经验，激发学生的求知欲。

（二）以操作为基础——在直观中建立概念

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。受学生思维的具体形象性与概念抽象性之间的矛盾，概念课更需要将形象直观的“学习材料”引入教学中，在直观中调动眼耳脑手所有表征参与活动，才能让学生达到“主动学”的境界。

（三）以认知冲突为契点——在探究中深化概念

认知冲突是指当个体意识到个人认知结构与环境或个人认知结构内部不同成分之间的不一致时所形成的状态。学生在接受和形成新知识体系前，往往会产生大量无法预测的思维行为，包括时而合乎逻辑和时而不合逻辑的判断、推理等，从而形成认知冲突。在教学过程中，教师要学会引发学生的认知冲突，促使学生主动建构自己的认知结构。那么，应该如何促成学生的认知冲突，使学生形成“心求通而未达，口欲言而未能”的状态？

1、关键点引发冲突，感知概念的必要性。

概念教学中有不少关键点容易引发学生的冲突，冲突的发生正是概念教学的盲点和死角，若能巧妙利用可使之变为亮点。教师应沿着学生暴露和呈现错误的轨迹，理其源头，对症下药，引导学生从正反两方面思考、比较、修正，培养学生思维的灵活性，才能真正形成自己的认知。

2、困惑处制造冲突，理解概念的特点。

面对新的知识或未曾研究的问题，学生往往会根据原有经验解决，在这个过程中又会产生新的困惑，这就是认知困惑点。在困惑处制造认知冲突，可以营造探究的氛围，激发学生探求新知的欲望，实现学生自主建构知识的内驱力。

（四）以练习为途径——在实践中应用概念

学生头脑中的数学概念,不能只停留在理解、记忆的基础上,还要通过必要的练习巩固应用。在解决问题的过程中消化、吸收,就会达到牢固灵活地掌握知识。为此教师要潜心挖掘教材研究教法,在实践中应用概念。

史宁中教授说“基于核心素养的教学，要求教师要抓住知识的本质，创设合适的教学情境，启发学生思考，让学生在掌握所学知识技能的同时，感悟知识的本质，积累思维和实践的经验，形成和发展核心素养。”概念教学是数学教学的核心部分，也是教师孜孜不倦探寻创新的领域。只有延伸概念所能触及的地方，深挖概念本质属性，帮助学生有效建构概念内涵，才能落实学生的数学核心素养。