一元二次不等式解法研究

李亚飞

【摘要】  一元二次不等式的求解，不管是在高中阶段，还是中职阶段，普通高考还是单招高考都有着非常重要的地位，在选择题、填空题以及解答题中都出现过，并且分值还不低。本文从解一元二次不等式的重要性、知识储备、求解方法、步骤等角度讲解了一元二次不等式的求解，希望对所有学生有所帮助。

【关键词】一元二次不等式，图像，求解

不等式是高中数学研究的一个重要内容，它与中学数学其他章节有着密切的联系，可以说是贯穿高中数学的始终，而一元二次不等式虽是最基础、最简单的不等式，但他却有着重要的地位，纵向看，它是后面的分式不等式、含绝对值不等式等化归、转化的归宿；横向看，它与二次函数、一元二次方程密切相关，因此成为我们学习讨论和考察学生能力的一个热点。

一、求解一元二次不等式的重要性：

“一元二次不等式求解”既是初中一元一次不等式解法在知识上的延伸和发展，又是中职数学第一章《集合》知识的运用与巩固，也为下一章函数的定义域和值域教学作铺垫，起着链条的作用。许多数学问题的解决都会借助一元二次不等式的求解，因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

从内容上看，一元二次不等式、一元二次方程与二次函数密不可分，该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从数学思想上看，这部分内容较好地反映了方程、不等式、函数知识的内在联系和相互转化，蕴含着归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、概括能力、探究能力及创新意识。

二、一元二次不等式求解

（一）知识储备

1、三个二次之间的关系：

解一元二次不等式之前，同学们先要搞清二次函数、一元二次方程及一元二次不等式（俗称“三个二次”）之间的关系；

①一元二次方程与二次函数之间的关系：一元二次方程的解是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标。

②一元二次不等式与二次函数之间的关系：的解集是对应二次函数在x轴上方的图像所对应的x的取值范围；而的解集是对应二次函数在x轴下方的图像所对应的x的取值范围。

2、一元二次方程的求解：

解不等式之前，学生必须先学会一元二次方程的求解，这个内容学生在初三学过。一元二次方程的解法有很多，比如配方法、直接开平方、因式分解、求根公式等方法，学生要根据自身的特点选择适合自己的方法，不管哪类学生，求根公式（）是每个人都应该掌握的方法，没有什么技巧和难度，直接带值即可。

（二）一元二次不等式求解方法及步骤

1、求解方法：一元二次不等式的解集主要是通过观察对应二次函数的图像而得到的，故解法为图像法。

2、一元二次不等式求解步骤：

    ① 解与不等式对应的一元二次方程的实数根：基础较好的学生可选择因式分解法（十字相乘），在因式分解不成的情况下，先求△，若△0，用求根公式可求出方程的解；若△<0，则方程无实数解。

② 看二次项系数a的正负确定抛物线的开口方向：当二次项系数a>0时，抛物线开口朝上；a<0时，抛物线开口朝下。

③结合一元二次方程的解及抛物线开口方向画出草图：为了省时省力，画图时可以不考虑y轴，只画x轴和抛物线，标出抛物线和x轴交点即可。这个图只是为了帮助学生快速写出不等式的解集，因为它没有y轴，图像不完整，所以学生只需在草纸上完成，不能画在作业本或试卷上。

④由图像写出一元二次不等式的解集：观察不等号，若大于零，选x轴上方图像对应的x的取值范围；若小于零，选x轴下方图像对应的x的取值范围；若有等号，再加上图像与x轴交点的横坐标即可。

   以上这四步可归纳为：一解（解方程）二看（看a定开口）三画（画草图）四写（写解集），其中第三步不能出现在作业本或试卷上。以例题为证：

例1   解不等式

分析：用十字相乘法可得对应一元二次方程的解为-4和1

      二次项系数a=1>0，对应二次函数图像开口朝上

      由方程的解和开口方向可画出草图：

      因不等式为，选x轴下方的图像

所对应的x的取值范围并加上-4和1，

即

      所以不等式的解集是

（或）

解一元二次不等式应注意的问题：

1、在解一元二次不等式时，若二次项系数是负数，可以把二次项系数化为正数，但要注意的是选图像时得选转化后的不等式所对应的范围，千万不敢选原不等式，否则就错了；不转化系数也行，直接按步骤去解，只不过画图时抛物线开口朝下而已。

例2  解不等式

分析：先整理不等式：

      因为△=

      所以对应一元二次方程没有实数解

      又因为二次项系数，抛物线开口朝下

      因，选x轴上方的图像，

      故不等式的解集为

2、一元二次不等式的解集要么是两值之间、两值之外、某一值两侧、某一数值、或R,除此之外再无其它，大家在做选择题时，可依此结果排除。

例3.不等式的解集是（   ）

A        B

        C         D（2,3）

分析：一元二次不等式的解集要么是两值之间、两值之外、某一值两侧、某一数值、或R,故排除A、B，因二次项系数a=1>0,抛物线开口朝上，又不等号为“<”，所以解集应为两值之间，故答案为D。

3、二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况。

  例4  已知关于x的不等式的解集是R，求实数m的取值范围。

分析：因本题中二次项系数为未知数m，故需要用分类讨论的方法来解决。

      当m=0时，原不等式可转化为-2<0恒成立，不等式解集为R；

      当m>0时，函数的图像是开口向上的抛物线，此时不等式的解集不是R；

      当m<0时，需满足△=，即，此时不等式的解集为R。

      综上所述，实数m的取值范围为

一元二次不等式涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想，这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。而一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具，它几乎渗透到中学数学的所有领域，对今后的学习起着十分重要的作用.所以每个中学生都应该掌握一元二次不等式的求解，并将它应用到以后的学习中。

参考文献

【1】高一数学知识点讲解：一元二次不等式     中原说教育广东软件工程师，栢能科技

【2】一元二次不等式的解法 解题步骤有哪些     高三网     李傲   2021-03-29

【3】一元二次不等式在高中数学中的地位与作用     百度文库

【4】一元二次不等式   数学（基础模块）学习辅导与训练上册   航空工业出版社