判断三角形的形状常用结论及其应用

杨琼

摘要：解三角形是高中数学知识中的一个重要知识点，也是高考的一个考点，就这一知识模块下的判断三角形形状，给出常用结论及其应用的例题分析，加以记忆和使用，能更简洁有效地解决此类问题。

关键词：判断三角形形状、常用结论、应用

在高考的考纲中，对于解三角形部分的要求是: 1.掌握正弦定理、余弦定理，能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题.

纵观近五年高考数学理科卷中解三角形部分的考情考法：

年份	全国I卷	全国II卷	全国III卷
2020	填空题16	解答题17	选择题7
2019	解答题17	填空题15	解答题18
2018	解答题17	选择题6	选择题9
2017	解答题17	解答题17	解答题17
2016	解答题17	填空题13	选择题8

可以发现，解三角形部分命题形式多样，具体考法包括：

1.利用正余弦定理来解三角形（包括求三角形中的未知量、判断三角形的形状、求三角形周长的范围或面积等），小题为主.

2.角化边、边化角后求指定量，大小题都可能.

3.与三角恒等变换、三角函数的性质、平面向量等结合考察综合知识，大题为主.

综合性大题常出现在第17题，也就是解答题第一题.从某种程度来讲出现在大题更可怕，如果这个大题没解答好，很多考生的心态已经崩了，会直接影响到接下来的一个多小时的考试，甚至影响后面一天的考试.

而在2020年的高考文科数学全国II卷中第17题就考察了证明三角形形状为直角三角形，故结合高考要求，就解三角形下的判断三角形形状这一考点，分析和淬炼出常用知识点及其应用.下面就对其展开一一论述和使用分析。

必备的基础知识包括

1. 三角函数性质和辅助角公式

2. 

常用知识点一:

余弦

它们的使用思路就是角化边或边化角。

例.（2005北京春季7）在△ABC中，已知 ,那么△ABC一定是（ ）.

A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

解：由条件得

常用知识点二：

例:在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边且 ，判断△ABC的形状．

解:　∵ ，∴ ，

∴ ∴ ，

∵ ，∴ .

∵ ，∴ .

∴△ABC为直角三角形．

常用知识点三：三角形中由sin 2A＝sin 2B可得2A＝2B或2A＝π－2B

例.在△ABC中， ，则这个三角形的形状为 ．

解析：由正弦定理，得 ，

即 ，所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即 ，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．

常用知识点四：射影定理，该定理画出三角形的形状并作出某一边的高即可证明，或者将左式中角的余弦处用余弦定理代换后即可得出。

例.(2013陕西9) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。若 ,则△ABC的形状为（ ）。

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D.不能确定

解：选A，

常用知识点五：

例1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则△ABC为(　　).

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

解析： ，故△ABC为钝角三角形．

例2.（2012上海17）在△ABC中，若 ,则△ABC的形状是（ ）.

1. 钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D、不能确定

解析：

例3.已知锐角三角形的边长分别为1，3， ,则 的取值范围为 .

解析：因为 ，以只需3和 的对角为锐角即可。

例4.（2010年上海18）若△ABC的三个内角满足 ,则△ABC（ ）.

1. 一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

解析：

设 ,则

上述常见结论，除了用于判断三角形的形状，用在解三角形其他类型题中，也能事半功倍，有效提高解题速度和准确度。

例：(2020·桂林、崇左联合模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ，且 ，则等于(　　)

A. B. C．2 D.

解析:选C　由 得a＝，

由 得 ，∴cos A＝，∴A＝.

∴＝＝2.

参考文献：白慧鑫主编《3年高考真题精选详解2021年版》西藏人民出版社

张泉主编《2020版世纪金榜高中全程复习方略》延边大学出版社

杨琼 ，女，1984年12 月生，汉族， 云南省昆明市寻甸县人，全日制大学本科毕业，从事高中数学教育13年，中学一级教师，就职于昆明市寻甸县第一中学，乐于对高中数学教育、德育、班主任工作方法技巧进行研究。

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