解密万有引力常规问题

陈伟锋

在高中物理学习中，大部分学生其实最不愿意遇到的就是万有引力的题目，一方面，这一系列的问题涉及到的物理量公式繁多，解题逻辑容易混乱，另一方面也存在很多结合航天前沿技术内容的信息题，往往需要学生从中建立天体的物理模型，无形中又增加了一层难度。

在教学实践中，笔者发现在解决万有引力的常规问题上，其实只是一个连等式，两种换算关系和五类物理量之间的求解逻辑，如果我们能够在日常教学中，把这一层面纱给学生层层剥开，对其进行解密，让学生洞悉到问题的本质。那当学生面对万有引力问题时，他们便不会措手不及，而是信心满满，从容以对了。

一个连等式

其实万有引力的解题逻辑十分简单，模型始终就是一个绕行天体，围绕一个中心天体做近似的匀速圆周运动，然后根据圆周运动的逻辑，绕行天体需要合外力来提供向心力。对于绕行天体而言，这个合外力就是万有引力，而万有引力对于绕行天体而言，也就是其受到的重力，所以我们有连等式：

其中 ， ，

这个连等式中，其实很多学生一般都只会留意到左半边的这个等号，或者只留意到了右半边的那个等号。但可能大部分学生包括老师在内，都没有意识到这三个是连等的关系，在这个连等式关系里面，其实也就暗示了与这三个力有关的物理量之间其实都有潜在联系的，这些物理量之间是可以通过这个桥梁进行互通有无的。

五类物理量

在上面的连等式中，我们都不难注意到绕行天体的质量无论如何列式，必然第一时间都会被约分掉，那式子中除了万有引力常量 和圆周率 之外，其实涉及到的物理量有中心天体的质量M，重力加速度g，向心加速度 ，轨道半径R，线速度v，角速度 ，周期T，转速n，频率f共计9个物理量。但是经过整理，笔者发现，其实其中就只有五类物理量，如下表格：

	中心天体的质量	轨道半径	线速度	加速度类	角速度类
物理量符号	M	R	V	g、a向	、T、n、f
涉及关系	中心天体密度 V中心天体体积	r中心天体的半径 h轨道高度

由于向心加速度 和重力加速度g是相等的，角速度 ，周期T，转速n，频率f之间又能够通过 进行快速的转化，给任意一个都可以推出另外三个，对所给条件的丰富度上没有贡献，所以其实他们是相同一类的物理量。

最终，我们可以发现，从 任意取两个量相等建立等式（除G=ma_向之外），等式中都会涉及到三类上述的物理量，命题人在设计题目时，一定会提供两个作为条件，然后一个作为问题，通过知道两个条件量，去求解一个问题量。又或者设计有两个天体同时绕一个中心天体做圆周运动的题目，其中有一个天体的运动大部分时候是为了能够求出他们共同围绕的中心天体的质量M而存在的，然后使得另一个天体的运动在物理量的求解上能够满足两个条件量，去求问题量。

在以往教学中，我们在进行题型归类的时候，常常根据题目中所要求解的量的种类，将之分类为四大类问题，比如求解绕行天体运行参量问题，中心天体质量或密度问题，重力加速度问题，绕行天体的轨道半径问题等。但其实，在笔者看来，这无非就是一类题型，叫做知二求一的问题。只要题目中给了我们不重复的两类物理量，那我们一定能够求解出题目中另一类物理量，而且十拿九稳。例如以下这道十分普通的万有引力题目：

例题1（多选）：2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”再人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速再入返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为 ，引力常量为G，则（　　　）

A． 航天器的轨道半径为 B． 航天器的环绕周期为

C． 月球的质量为 D． 月球的密度为

此题中，不难看出出题人是想通过人造航天器经过时间t所运动的弧长s、连线扫过角度 ，由定义，给予我们两类天体运动的物理量线速度和角速度，那我们必然是可以依次列式分别求出航天器的轨道半径，环绕周期、月球质量的，甚至乎我们也可以求出航天器所在位置的重力加速度，只要题目有要求的话，但是我们没有办法算出月球的密度，因为题目中没有给出月球的半径r，结合计算结果，我们可以判断出答案为BC。

经过上述的研究整理，我们就能够给出结论，其实万有引力的常规题型，无论在命题或者是解题上，都难以逃脱这种知二求一的套路，学生如果知道这一点之后，那很多题目就能够一招制敌，洞悉题目中的玄机了。例如以下这道十分经典的万有引力例题：

例题2：据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是（ ）

A． 月球表面的重力加速度 B． 月球对卫星的吸引力

C． 卫星绕月运行的速度 D． 卫星绕月运行的加速度

此题中，命题人提供给我们运行周期T和轨道半径R（R=r+h）两类物理量，那我们自然可以通过知二求一，得知卫星绕月运行的加速度和卫星绕月运行的速度，也可以顺便求解出月球的质量。而月球表面的重力加速度，其实就把研究对象从嫦娥一号卫星转移为一个假设的近地卫星，去求解其重力加速度，那我们如果知道这个近地卫星的两类物理量，我们也可求解。而本题目我们知道其轨道半径R以及通过前面嫦娥一号卫星所算出的月球的质量，所以月球表面的重力加速度我们也可以水到渠成了。而月球对卫星的吸引力，由于需要知道卫星自身的质量，我们无法计算，这也算是一个非常常见且明显的陷阱。如此一来，这道题目，我们不需要动笔，仅仅需要经过逻辑分析，就可以不费吹灰之力把它做出来了，答案只有B。

两种换算关系

在此之前，我们已经论证了万有引力系列题目中知二求一的这种套路，其实我们如果再结合此类问题的两种隐藏换算关系，那我们则又上升到另一个高度了，便是知二求三，而且不必再反复列 这条连等式进行求解。

这两种隐藏的换算关系，一则是被我们广为熟知的黄金代换： ，一则是圆周运动中各量之间的转换关系，其中包括线速度和角速度的关系： ，角速度与周期、转速、频率的关系： ，向心加速度和所有运动量的关系： 。在熟悉以上两种换算关系的基础上，其实我们完全可以证明得到，只要知道了万有引力的三类物理量，那我必然可以把剩下的两类物理量给换算出来，这就是我们最终所能得到的结论：万有引力的题目，只要知道至少两类物理量，我们就能够利用这两类物理量与引力常量，把剩余的物理量都算出来，简称知二求三。以下是笔者根据四类常规问题在求解后，运用换算关系得到的列表：

	求运行参量	求中心天体质量	求重力加速度	求轨道半径

通过以上表格，我们完全有把握相信，其实万有引力问题只要知道两类物理量，我们就可以通过一个连等式以及两种换算关系，求解出另外的三类物理量。至此，万有引力的常规问题，便解密完毕。笔者希望通过以上论证，可以使得我们在处理万有引力的常规问题上，化零为整，以知二求三的求解逻辑，在战略层面上藐视它，而在战术层面上，我们可以通过物理量之间的快速转换甚至巧记一些常用二级结论，诸如绕着同一中心天体的绕行天体，随着轨道半径的增大，其向心加速度、线速度、角速度、转速和频率都减小，而周期增大（一正五反的规律），来实现求解上的快准稳！例如下面例题：

例题3：如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带．假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是（　　）

A． 小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值

B． 小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

C． 太阳对各小行星的引力相同

D． 各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

此题中，由于小行星带中的小行星还有地球围绕的都是太阳这一共同的中心天体的，所以一正五反的结论可以使用，可以迅速判断A是正确的，B、D都是错误的，而C选项又是考虑到小行星的质量存在差异，所以引力不一定相同，故错误，答案只能选A。

希望本篇文章能够让大家读有所获，才疏学浅，如有错漏，亟待批评指正！