浅析平面几何总复习之法

黄建群

摘要：本文主要针对平面几何复习方法作剖析，归纳总结了六种有效的解题方法，旨在给一线教师带来帮助。

关键词：平面几何；思路；方法；技巧

初中毕业班升学考试前的数学总复习面临着时间少、内容多、要求高、压力大而学生的学习水平参差不齐，每个学生对各部分内容的掌握程度又不一致的现实。为此，怎样进行初中数学平面几何总复习，是毕业班数学教师十分关心和应该思考的问题。多年的毕业班数学教学工作经验，使笔者深深地体会到：若不改变传统的数学复习教学方法，单靠加班加点、搞题海战术或是按部就班进行章节复习，那只能是让师生筋疲力尽且收获甚微。为此，要在“方法”上下功夫，做到精复习、精练习、采取有效的方法，切实使效果事半功倍。下面就如何进行初中平面几何总复习，在方法上作以下探讨。

一、一线串珠

在开始进入平面几何全面复习时，不少学生感到书海如云，毫无头绪。针对这种情况，笔者就引导学生将所学知识进行整理、归纳，全力理出一条线，将分散在各部分的“珠子”串起来，达到化零为整、化点为线、以一带十的效果。如在平行四边形一章的复习中，笔者的做法是：抓住平行四边形与矩形、菱形、正方形的共性，由平行四边形的定义、判定和性质，导出矩形、菱形、正方形的定义、判定和性质等等知识点，从而通过四边形这条主线，把矩形、菱形、正方形串起来形成一个系统的知识链。这样，就帮助学生理清了头绪、明晰了脉络，使学生获得内容丰富以及既有共性又有个性的知识网络。

二、问卷引导复习法

所谓“问卷引导复习法”，就是根据总复习计划的安排，对一堂课要复习的内容，先由教师设计，制作一份问卷，并留作答空白，然后提前发给学生，让学生自己回顾、思考、作答。上课时，教师巡回个别辅导。最后，教师针对学生答卷中出现的倾向性问题，用20分钟左右的时间进行集体辅导，并张贴问卷答案。

三、纵横联系

加强知识间的横向联系，拓宽知识面，开阔学生的知识视野，是提高复习效果的做法之一。

例1.设⊙Ο1、⊙Ο2的半径分别是a、b（a≠b），圆心距为1个单位长，若方程x2-2ax+b2=b-a有相等的实根。

(1)试证明两圆外切。

(2)用解析式将⊙Ο1的半径a表示为⊙Ο2的半径b的函数，并在直角坐标系中画出该函数的图象。

分析:此题可以利用数形结合法来解，把几何问题转化为用代数的知识来解决，加强几何知识和代数知识的横向联系，问题就简单了，这属于数学解题的技巧。(1)中只证出a+b=1即可，(2)中利用(1)的结论画出图象即可。拓宽学生知识面，开阔学生的知识视野，解题能力也升华了。

四、一题多变

重视一题多变的训练，有助于培养学生的智力，开拓学生的思路，提高学生思维的敏捷性和解题的灵活性。因此，在重点复习阶段，笔者采取下面几种具体变换：

1.对图形进行变换

例2.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于点A、B，经过点A的直线分别交两圆于C、D，经过点B的直线分别交两圆于点E、F。求证：CE∥DF。

分析：此题可以根据两圆的不同位置，作出以下六个图形：

可知：由于图形不同，证明方法也略有差异。但它们都要以相交两圆的公共弦为辅助线加以证明。

2.变换命题条件，保留结论

变换命题的条件可以帮助学生了解命题与命题之间的相互联系。

在例2中，适当变换命题条件，得下面例题：

(C、E两点重合)例3.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于B、E两点，A是⊙Ο1上另一点，AT是⊙Ο1的切线，又直线AB与AC分别相交⊙Ο2于点D、F。求证：AT∥DF。

分析：只证∠BAT=∠D，则AT‖DF。

(D、A两点重合)例4.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于点A、B。过点A作一圆的切线，交另一圆于P，过点B作直线QBS分别交两圆于点Q、S。求证：AS∥PQ。

分析：只证∠ASB=∠PQB，则AS∥PQ。

(相交两圆为相切两圆)例5.已知⊙Ο1和⊙Ο2相切于A点，过点A作直线ABC和ADE，分别交⊙Ο1、⊙Ο2于点B和D，C和E。求证：BD∥CE。

分析：过A作公切线AT，只证∠ABD=∠C,则BD∥CE.

以帮助学生较系统地掌握平面图形的性质，了解命题的适用范围，做到一箭双雕，甚至一箭多雕。

例6.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于A、B两点，过点A作直线CAD，分别交⊙Ο1、⊙Ο2于C、D，连结BD，并延长交于点E，再过D点作⊙Ο2的切线DT。求证：ΔDAB∽ΔDEC。

对于例6中的结论可作下面几种改变。

(1)DA∶DE=DB∶DC(2)DA•DC=DB•DE

(3)∠DAB=∠DEC(4)DΟ2⊥CE

分析：易证∠ADB=∠EDC∠DAB=∠DEC则ΔDAB∽ΔDEC，题中(1)、(2)、(3)、(4)结论就迎刃而解。

四、同时改变命题的条件和结论

有些命题的条件改变后，其结论也随着改变，这类题不但可以发展学生的思维能力，而且还有助于培养他们的探索能力。

(例2中，若附加条件CD∥EF,得)例7.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于点A和B，经过点A的直线分别交两圆于点C、D，经过点B的直线分别交两圆于点E、F，且CD∥EF。

求证：(1)CD=EF(2)CE=DF

分析：易证四边形CEFD是平行四边形，则CD=EF、CE=DF。

评：在一题多变的训练中，无论是对图形进行变换；变换命题条件，保留结论；保留条件，改变结论；还是同时改变命题的条件和结论，它们的一切性质都是从已知条件出发而推得的,分析条件与结论间的关系，研究它们变化时某些不变的性质，发现和掌握它们之间的一些内在规律，这是学习初中有关图形问题的基本方法之一。学会方法，便可以通过适量命题的练习而取得较大的收益，对教学来说，则可以达到事半功倍的实效。

五、一题多解(证)

在重点复习阶段，适当练练一题多解(证)的习题，可以大大地开阔了学生的知识视野，提高学生的思维和分析能力。

例8.已知⊙Ο1和⊙Ο2外切于点A，BC是⊙Ο1、⊙Ο2的公切线，B、C为切点。

求证：AB⊥AC

证法一：如右图，

过点A作两圆的内公切线交BC于D，则有：BD=DA=CD

∴点A在以点D为圆心，BC为直径的圆上

∴AB⊥AC

证法二：过点A作两圆的内公切线交BC于D,

则有：BD=AD=CD

∴∠DBA=∠BAD,∠DCA=∠DAC

∴∠DBA+∠DCA=∠BAD+∠DAC

又∵∠DBA+∠DCA+∠BAD+∠DAC＝1800

∴∠BAD+∠DAC＝900

∴AB⊥AC

证法三：根据“如果三角形一边上的中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角”可证AB⊥AC。

证法四：过点A作两圆的内公切线AD交BC于D,并延长AD至E，使DE=AD，则四边形ACEB的对角线相等且互相平分，故四边形ACEB为矩形

∴∠CAB＝900

∴AB⊥AC

证法五：连结Ο1Ο2、Ο1B、Ο2C，

则有∠ACB＝1/2•∠AΟ2C∠ABC＝1/2•∠AΟ1B

Ο1B⊥BCΟ2C⊥BC

∴∠ABC+∠ACB=1/2•(∠AΟ1B+AΟ2C)……（1）

Ο1B∥Ο2C

∴∠AΟ1B+AΟ2C＝1800……（2）

由（1）、（2）得∠ABC+∠ACB＝900

∴∠BAC＝900即AB⊥AC

评：在数学教学中，如果能对例题进行多向探索，灵活转换，给出多种解法，可以使学生的认识逐步深化，思路日见开阔，对开发学生智力和培养学生能力将起到积极作用。

六、多题一解

在初中毕业班的数学教学中，不断地收集一些具有同一主题而形式不同的习题，在复习时采取“题组”的形式让学生练习。这有助于学生从题海中解脱出来，使学生通过有限的练习，触类旁通，从中悟出共同的解题规律。如下面一组题：

(1)已知：a4+b4+c4+d4＝4abcd

求证：以a、b、c、d为边的四边形是菱形。

(2)已知Sin3A+Sin3B+Sin3C=3SinA•SinB•SinC

试判定ΔABC为何种三角形。

分析：(1)中易证a=b=c=d即可，(2)中用相似方法易证。这种多题一解的方法，不仅可以培养学生们独立思考能力，反思总结的思维习惯，而且也是复习平面几何教学方法的一种新实践新突破

除此之外，还可进行专题性复习。如：线段相等、等角、线段的和、差(倍、分)、平行线、垂线、不等量、比例式、等积式的证法；计算法证明几何题等等。

学生数学成绩的提高，数学教学整体水平的提升，无疑是多种因素综合促成的。但笔者认为在诸多因素中，好的复习方法，是提高学生数学成绩与提升整体数学教学水平的一个重要的因素，这就是本文所谈之要义。

作者单位：广东省惠州市博罗县博罗中学育英学校

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