和谐在解题中

赵娟

数学的统一美或称和谐美，是指条件与条件、条件与结论之间或部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，是指在不同的数学对象或同一数学对象的不同组成部分之间所存在的内在联系或共同规律。

利用统一美的思想，经过变形、转化、联想、类比把他们统一起来，找到许多复杂问题的共同特征，更有利于解题。以下结合一些代表性的典型范例分析，就数学和谐美在解题中的应用作以初步分析和探讨。

一、椭圆与双曲线之间的和谐统一

1.定义的和谐统一

虽然书上给了两者不同的定义，但我们常看到以下题型，它为我们打开椭圆与双曲线之间的共通之门。

例1：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积为λ（λ∈R），求顶点C的轨迹方程，并就λ的不同取值讨论轨迹类型。

用类似椭圆的解法可得双曲线的点P的轨迹方程为x2/36+y2/16=1。性质2：过原点的直线与椭圆

交于M、N两点，点P是上曲线异于点M、N的任意一点，且直线PM、PN的斜率都存在，kPM·kPN是否为定值？若是，说明理由。

解：设m(x1,y1)是椭圆上任意一点，则N(-x1,y1)是M关于原点的对称点，p(x0,y0)是椭圆上一点，且满足直线PM、PN的斜率都存在，则两式相减，变形为，为定值。类似地，可得双曲线中也为定值。

意图：使学生体会到椭圆、双曲线这两类在定义和方程上都极为相似，但在图形上相去甚远的圆锥曲线之间存在如此紧密的联系，从中感悟到数学的和谐美。

二、数列中的和谐统一

在学习数列后，教师让同学们去生活中观察各种花卉并收集资料，在花的花瓣中存在一个奇特的现象，几乎所有花的花瓣的数目都是：3，5，8,13，21,34,55,89。例如，百合有3瓣，毛莨有5瓣，翠雀有8瓣，万寿菊有13瓣，等等。这些数字还有一个明显的特征：每一个数字都是前两个数字之和。我们把这个数列叫做斐波那契数列。数学中，与该数列密切相关的神奇现象随处可见：

例2：已知数列{an}的第一项是1，以后每一项由公式an=1+1/an-1给出。

①当n足够大时，根据计算，an≈0.618，即为，是黄金分割数。又，于是得到黄金分割数的无穷连分数表达式，即，由无数个1居然能表示一个无理数！

②黄金分割数的倒数是黄金分割比，因此也可以用无穷连分数表示，近似值可以用{1an}表示，即1/1，这些分数的分子是1,1,2,3,5,8,13，…，藏着斐波那契数列！

③数列{an}通项公式这个通项公式里藏着黄金分割数和黄金分割比！

意图：通过斐波那契数列与自然界、黄金分割数的联系，向学生展示数学的神奇，展现数学的和谐与统一。

“社会和自然总是力图使自己成为一个和谐的整体。”数学更是这样。和谐美是促进解题成功的重要因素之一。数学解题中，我们可以从条件与结论的和谐，数、式、形的和谐等方面来探索解题思路。和谐美的原则能够帮助我们迅速制定解题策略和指明解题方向。本文仅从两个方面为大家介绍了数学的美妙，在平时的解题中都能发现数学的神奇之处，引人入胜，美不胜收！