连续刚构桥组合式桥墩弹性屈曲分析

张明飞

摘要：本文基于瑞利-里兹法提出了考虑自重的连续钢构桥组合式桥墩面外屈曲系数求解方法，探讨了双薄壁墩重量系数、独墩重量系数的合理取值范围，并根据依托工程建立大量有限元模型验证了公式的有效性和准确性。 关键词：连续刚构桥；组合式桥墩；弹性屈曲；瑞利-里兹法。

1.引言

近年来，在山区公路基础设施建设中，建造了许多桥墩高度在100米之上的连续刚构桥。桥墩高度的增加，意味着稳定性的降低。因此，为了平衡稳定性、力学性能和桥墩高度之间的关系，以及降低材料消耗，高桥墩通常设计为两个子结构的组合：下部的独墩和上部的双薄壁桥墩，即组合式桥墩。组合式桥墩具有独墩和双薄壁桥墩各自的特点，并可以调节双薄壁桥墩的高度比例，以满足稳定性要求。众多学者研究了双薄壁墩占比对组合式桥墩的影响并探讨了其合理分界点范围[1-2]，推导了其面外[3]和面内屈曲系数的计算公式。

然而，对组合桥墩屈曲的研究存在仍然不足，周在推导面外临界荷载公式时，将组合式桥墩作为为一个整体，未能考虑双薄壁墩和独墩自重分别对组合式桥墩造成的影响，并且尚未从理论上推导出考虑了自重的面内弹性屈曲系数公式，工程师只能通过有限元方法进行分析。

图1天桥大桥布置图

本文采用瑞利里兹法推导了考虑自重的组合式桥墩面外屈曲系数计算公式，并用有限元法对公式中双薄壁墩和独墩的自重系数进行了探讨，根据依托工程建立了三维有限元模型，并通过有限元结果验证了分析方法的正确性。

2.理论公式

对于面外屈曲分析，假定组合式桥墩为一端固定、一端自由的单悬臂支柱，独墩、双薄壁墩在其各自高度范围内为等截面。为了使位移函数便于积分、且满足边界条件，选取两项三角函数之和作为位移函数。

基于结构处于屈曲临界状态时，结构变形势能的改变值与外力势能的改变值相等，可建立结构体系的能量平衡方程。

Vs、Vd分别为结构临界状态时的独墩和双薄壁墩的外力势能，可以被进一步表示为：

(2.1)

其中，为组合式桥墩屈曲系数；Ns、Nd可被表示为

(2.2)

其中，Gg、Gs和Gd分别表示最大悬臂梁、独墩和双薄壁墩的自重；s、d分别表示独墩和双薄壁墩的自重系数。因此，上式(2.2)将作用于双薄壁墩和独墩墩顶的力分开考虑。总势能分别对1、2求偏导，那么屈曲问题就变成了求解结构总势能的极值，得到：

(2.3)

若要方程组有非零解，则方程组系数矩阵行列式值为零，即，该式展开后可得到关于屈曲系数得一元二次方程，求解该方程，其较小的解便为组合式桥墩的面外屈曲系数。

3.结果和讨论

本节依托桥梁首先对所提出的解析方法中双薄壁墩重量系数、独墩重量系数的合理取值进行了讨论，并采用ANSYS建立大量有限元模型，桥墩和主梁均采用Beam188单元，独墩顶部与双薄壁桥墩底部、主梁和双薄壁桥墩顶部采用刚性连接，独墩的底部固结。最大悬臂状态下主梁的重量以集中荷载的形式施加到桥墩顶部，并考虑了组合式桥墩的自重，验证了公式的有效性和准确性。

3.1桥梁描述

天桥大桥是一座预应力混凝土连续刚构桥，跨度布置为106m+200m+106m，位于中国通威高速公路上。箱梁在支撑处的高度为12.5m，中跨合拢段的高度为4m，混凝土等级为C55。底板的下边缘根据1.6次抛物线变化。9号和10号桥墩是组合式桥墩，混凝土等级为C50。此外，其他参数见图 1。根据以上信息，可得到一系列截面特性相关参数，如Eg, Ep, Is和Id等。

3.2双薄壁墩、独墩重量系数研究

当桥墩自重以集中力形式作用于墩顶时，在Timoshenko所给双向受压、一端固结一端受压这两种边界条件下，重力系数应分别取0.5和0.3[4]。在公式推导中，下部独墩和上部双薄壁墩被分开考虑了，介于二者之间的边界耦合条件，使得独墩偏向于一端固结一端受压的情况，而双薄壁墩偏向于双向受压的情况。因此，为了探讨面外双薄壁墩及独墩重量系数对解析法准确度的影响，采用Python将解析法程序化，取桥墩总高度为155m，双薄壁墩占比在0.1~0.9之间变化，增量为0.1，分别取双薄壁墩及独墩重量系数在0~1之间变化，增量为0.01，在建立9个有限元模型，计算解析解于有限元解之间的相对误差，并取最大值控制。这样我们可以取得10201个最大相对误差，如图 2所示。

图21和2的相对误差

对于面外面内求解稳定系数的解析法而言，根据图 2可知，其误差均先与双薄壁墩重量系数和独墩重量系数成负相关关系，当到达峰值后，其误差与二者成正相关关系。对于面外解析法而言，当双薄壁墩重量系数取值在0.28~0.47且独墩重量系数在0.21~0.42之间时，其相对误差值在3.06%~10%之间，当双薄壁墩重量系数取值为0.39且独墩重量系数为0.33时，其相对误差值最小，为3.06%。这与Timoshenko所给的两种边界（双向受压、一端固结一端受压）条件下重量系数0.5和0.3接近，偏差主要原因在于二者各自对应的边界条件不同。

3.3解析法准确性研究

为了探讨本文所提方法的准确性，对于面外稳定性，分别取桥墩总高度为110m和200m，双薄壁墩占比在0.1~0.9之间变化，增量为0.1，建立18个有限元模型，分别用文中所提方法和有限元法求解，如表1所示。

表1面外屈曲系数

β	110m				200m
	Eq(.4)	有限元	相对误差(%)		Eq(.4)	有限元	相对误差(%)
0.1	25.00	25.35	1.38		6.02	6.21	2.95
0.2	25.67	25.80	0.50		6.27	6.39	1.91
0.3	26.14	25.88	0.99		6.47	6.48	0.12
0.4	26.13	25.47	2.61		6.57	6.44	1.99
0.5	25.30	24.49	3.31		6.44	6.24	3.11
0.6	23.64	23.04	2.59		6.03	5.90	2.27
0.7	21.62	21.32	1.41		5.48	5.46	0.42
0.8	19.61	19.53	0.40		4.91	4.98	1.44
0.9	17.58	17.82	1.37		4.34	4.52	4.02

根据表1可知，我们可以发现本文方法计算结果与有限元结果有很好的一致性。对于面外稳定，本文方法与有限元方法的最大偏差在4.02%。这验证了在外力势能函数中分别考虑双薄壁墩与独墩的重量是满足工程精度要求的。

结论

本文根据瑞利里兹法推导了组合式桥墩面外屈曲系数的计算公式，通过对面外屈曲系数计算10201次获得不同双薄壁墩占比下的解析解与有限元解的相对误差，探讨了双薄壁墩重量系数、独墩重量系数的合理取值范围，得到了二者的最优解，并通过建立大量有限元模型验证了公式的有效性和准确性。可以得出以下结论：

1. 对于面外面内求解稳定系数的解析法而言，其误差均先与双薄壁墩重量系数和独墩重量系数成负相关关系，当到达峰值后，其误差与二者成正相关关系。对于面外解析法而言，当双薄壁墩重量系数取值为0.39且独墩重量系数为0.33时，其相对误差值最小，为3.06%。这与Timoshenko所给的两种边界（双向受压、一端固结一端受压）条件下重量系数0.5和0.3接近，偏差主要原因在于独墩与双薄壁墩之间的边界关系，建议在公式推导中更全面地考虑独墩与双薄壁墩之间的边界条件，以提高该方法的准确性。

2. 本文方法计算结果与有限元结果有很好的一致性。

3. 随着双薄壁墩占比的增加，桥墩稳定性的变化趋势与桥墩总高度无关。组合式桥墩首先发生面外屈曲，再发生面内屈曲。

引用

[1]李安渠. 大跨预应力连续刚构桥高墩优化设计研究[J]. 公路, 2011(6): 87-90.

[2]李璐, 周水兴, 江雄飞. 双薄壁-独墩组合型桥墩合理构造形式研究[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版), 2012, 31(1): 19-21+153.

[3]周水兴, 满泽联, 周光强, 等. 连续刚构桥组合式桥墩临界荷载分析[J]. 重庆交通大学学报(自然科学版), 2014, 33(1): 17-20+138.

[4]弹性稳定理论 第2版 （铁摩辛柯）[Z].